"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Искусственный спутник движется вокруг Земли, потому что одновременно сохраняет движение по инерции и непрерывно падает под действием земного тяготения. Для круговой орбиты сила тяжести обеспечивает центростремительное ускорение, а скорость зависит от расстояния до центра Земли. У поверхности минимальная скорость для такой орбиты называется первой космической: она составляет примерно 7,9 км/с. Эти закономерности помогают рассчитывать орбиты спутников и понимать, почему на орбитальных станциях возникает невесомость.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Искусственный спутник Земли — тело, выведенное человеком на орбиту и движущееся преимущественно под действием силы тяготения Земли. Это могут быть аппараты связи, наблюдения и научные станции. Понятие помогает отличить спутник от тела, которое движется за счёт постоянной работы двигателя.
Круговая орбита — орбита, на которой спутник движется по окружности вокруг центра Земли с постоянной по модулю скоростью. Направление скорости всё время меняется, хотя её величина остаётся той же. Такая модель позволяет просто связать силу тяготения со скоростью спутника.
Первая космическая скорость — минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности Земли для движения по круговой орбите без учёта сопротивления атмосферы. Она показывает, насколько быстро нужно двигаться, чтобы при падении к Земле не столкнуться с ней. Для расчётов используют обозначение v₁.
Невесомость — состояние спутника и находящихся в нём тел при свободном движении под действием силы тяготения. Она возникает не потому, что притяжение исчезло, а потому, что спутник и всё внутри него падают вместе. Это определение нужно, чтобы объяснить поведение космонавтов на орбите.
Спутник не падает на Землю отвесно, потому что его начальная скорость направлена вдоль поверхности планеты. За время движения он смещается вперёд, а сила тяготения одновременно отклоняет его траекторию к центру Земли. Если скорость подходящая, поверхность из-за кривизны Земли всё время оказывается ниже падающего спутника. Так складываются движение по инерции и постоянное падение.
Для кругового движения телу необходимо ускорение к центру окружности — центростремительное ускорение, равное aц = v²/r. На спутник действует сила тяготения F = GMm/r², направленная к центру Земли. По второму закону Ньютона сила равна массе, умноженной на ускорение, поэтому F = maц. В данном случае именно тяготение меняет направление скорости спутника и удерживает его на орбите.
Чтобы найти скорость спутника на высоте h, сначала выражают расстояние до центра Земли: r = R + h. Затем приравнивают силу тяготения GMm/r² к центростремительной силе mv²/r. После сокращения массы спутника и одного множителя r получают GM/r = v². Отсюда орбитальная скорость v = √(GM/(R + h)); формула показывает, что важна именно высота вместе с радиусом Земли.
У поверхности Земли высота h равна нулю, поэтому радиус орбиты становится равен R. Подстановка в формулу орбитальной скорости даёт v₁ = √(GM/R). Ускорение свободного падения у поверхности связано с массой Земли выражением g = GM/R², значит GM = gR². После подстановки получается удобная формула v₁ = √(gR), позволяющая найти скорость, если известны g и R.
С удалением от Земли радиус орбиты растёт, а сила тяготения уменьшается пропорционально 1/r². Для кругового движения при этом требуется меньшая скорость: v = √(GM/r). Однако длина окружности 2πr становится больше, и спутник движется медленнее. Поэтому период T = 2πr/v увеличивается: далёкий спутник тратит на оборот больше времени.
| Величина | Обозначение | Формула | Физический смысл и единица измерения |
|---|---|---|---|
| Радиус орбиты | r | r = R + h | Расстояние от центра Земли до спутника, м |
| Высота орбиты | h | h = r − R | Расстояние от поверхности Земли до спутника, м |
| Сила тяготения | F | F = GMm/r² | Сила притяжения Земли к спутнику, Н |
| Центростремительное ускорение | aц | aц = v²/r | Ускорение, направленное к центру орбиты, м/с² |
| Орбитальная скорость | v | v = √(GM/r) | Скорость движения по круговой орбите, м/с |
| Первая космическая скорость | v₁ | v₁ = √(GM/R) = √(gR) | Скорость для круговой орбиты у поверхности Земли, м/с |
| Период обращения | T | T = 2πr/v | Время одного полного оборота спутника, с |
Сначала определите, какое расстояние требуется по условию: высоту h или радиус r от центра Земли. Если дана высота, для формул орбитального движения прибавьте к ней R. Величины нужно подставлять в согласованных единицах СИ: расстояния — в метрах, время — в секундах.
Дано: R = 6,4·10⁶ м, g = 9,8 м/с². Требуется найти скорость у поверхности Земли и представить её в километрах в секунду. Поскольку ускорение свободного падения и радиус известны, удобнее применить формулу v₁ = √(gR), а не искать массу Земли.
Ответ: v₁ ≈ 7,9 км/с. Это скорость идеализированной круговой орбиты у поверхности; в реальности запуску мешают атмосфера и рельеф Земли.
Дано: h = R, требуется определить скорость спутника на круговой орбите. Здесь нельзя подставлять h вместо расстояния до центра: сначала нужно сложить высоту и радиус планеты. Для сравнения результата с первой космической скоростью удобно выразить орбитальную скорость через v₁.
Ответ: примерно 5,6 км/с. Расчёт через отношение избавляет от необходимости отдельно подставлять G и массу Земли.
Дано: период обращения спутника T, требуется найти радиус орбиты и высоту над Землёй. Период связан с длиной окружности формулой T = 2πr/v, а скорость — с притяжением Земли формулой v = √(GM/r). Сначала найдём r, а затем вычтем радиус Земли.
Ответ: r = ∛(GMT²/(4π²)), h = ∛(GMT²/(4π²)) − R. Численный результат можно найти после подстановки заданного периода и радиуса Земли.
Подставляют высоту над поверхностью вместо радиуса орбиты. Путаница возникает потому, что обе величины измеряют расстояние, но отсчёт у них разный: h начинается от поверхности, r — от центра Земли. Перед расчётом проверьте, что записали r = R + h; например, при h = R радиус орбиты равен 2R, а не R.
Считают первую космическую скорость одинаковой на любой высоте. Так происходит, если запоминают значение 7,9 км/с, но забывают, что оно относится к орбите у поверхности Земли. Для другой круговой орбиты используйте v = √(GM/r): с ростом r скорость уменьшается. Проверка: при r = 2R ответ должен быть меньше скорости у поверхности.
Приравнивают силу тяготения к массе спутника или сразу сокращают массу, не записав закон Ньютона. Масса сама по себе не является силой, а сокращение допустимо только после равенства GMm/r² = mv²/r. Запишите обе силы, проверьте единицы и лишь затем сократите m: так видно, почему скорость не зависит от массы спутника.
Путают первую космическую скорость со скоростью для ухода из поля тяготения. Название «космическая» может навести на мысль, что речь идёт о покидании Земли, но первая скорость обеспечивает круговую орбиту. Для ухода от Земли рассматривают вторую космическую скорость. Проверяйте, что именно требует задача: обращаться вокруг Земли или преодолеть её притяжение.
Для вывода орбитальной скорости нужны закон всемирного тяготения, второй закон Ньютона, движение по окружности и формула центростремительного ускорения. Эти знания позволяют объяснить не только движение искусственных спутников, но и движение планет, а также изучать законы Кеплера и космические скорости. Понятие невесомости связывает тему со свободным падением и динамикой: тот же принцип помогает понять, почему космонавты на орбитальной станции не ощущают опоры под ногами.
Почему спутник не падает на Землю?
Спутник действительно всё время падает к Земле под действием силы тяготения. Но у него есть скорость, направленная вдоль орбиты: пока он падает, поверхность Земли из-за её кривизны как бы уходит вниз. Поэтому спутник продолжает двигаться вокруг планеты, а не достигает поверхности.
Почему первая космическая скорость зависит от радиуса Земли, но не зависит от массы спутника?
У поверхности v₁ = √(GM/R) = √(gR), поэтому скорость зависит от массы Земли, гравитационной постоянной и радиуса планеты. Масса спутника сокращается при приравнивании силы тяготения к центростремительной силе. Следовательно, для заданной орбиты скорость не зависит от того, насколько массивен спутник.
Чем первая космическая скорость отличается от второй?
Первая космическая скорость нужна, чтобы тело двигалось по круговой орбите вокруг Земли. Вторая космическая — минимальная скорость для преодоления земного притяжения без дальнейшей тяги двигателя. Это разные задачи и разные значения скорости.
Почему космонавты на орбите испытывают невесомость?
Космонавты и станция вместе свободно движутся под действием силы тяжести. Станция не давит на космонавта, как пол в обычных условиях, поэтому исчезает ощущение веса. Невесомость не означает отсутствия земного притяжения.
Как изменяются скорость и период спутника при удалении от Земли?
При увеличении радиуса круговой орбиты орбитальная скорость уменьшается: v = √(GM/r). Период обращения при этом растёт, потому что спутнику нужно пройти более длинный путь, а движется он медленнее. Поэтому далёкие спутники обращаются вокруг Земли дольше.
§ 3.7. Движение искусственных спутников. Расчет первой космической скорости
