§ 3.8. Деформация и сила упругости

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Абсолютное удлинение обозначают Δl и находят как изменение длины тела. Эта величина нужна, чтобы сравнивать силу воздействия с результатом деформации.

Упругая сила — сила, возникающая при деформации и направленная против неё. Её обозначают Fупр. Она объясняет, почему растянутая пружина тянет обратно, а согнутая линейка стремится выпрямиться.

Жёсткость — характеристика тела или пружины, показывающая, какая сила нужна для единичной деформации. Её обозначают k, единица измерения — Н/м. Чем больше k, тем труднее заметно изменить форму тела.

Закон Гука утверждает: при малых деформациях модуль упругой силы равен Fупр = k|Δl|. В векторной форме записывают Fупр = −kΔr, где знак «минус» указывает на противоположность направлений силы и смещения. Закон позволяет вычислять силу, удлинение или жёсткость.

Как это устроено

Внешняя сила изменяет взаимное расположение частиц тела. При растяжении расстояния между частицами увеличиваются, при сжатии уменьшаются, а при изгибе или кручении разные слои тела смещаются неодинаково. Поэтому форма тела меняется не мгновенно целиком, а за счёт перестройки его внутреннего состояния.

Деформация может проявляться как растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг или кручение. Вид зависит от того, какие части тела и в каком направлении перемещаются. Например, нажатие на середину линейки, закреплённой с двух концов, вызывает изгиб, а поворот одного конца стержня относительно другого — кручение.

Упругая сила возникает потому, что частицы тела связаны силами взаимодействия. После смещения эти силы уже не уравновешены так, как в исходном состоянии, и стремятся вернуть частицы обратно. Поэтому деформированное тело сопротивляется растяжению, сжатию или изменению формы.

Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки, если частицы возвращаются к прежним положениям. При слишком большой нагрузке связи между частицами перестраиваются необратимо, и возникает пластическая деформация. Тогда тело сохраняет изменённую форму даже после прекращения действия внешней силы.

Упругая сила направлена противоположно смещению: растянутую пружину она тянет к центру, а сжатую выталкивает наружу. Именно это отражает знак «минус» в записи Fупр = −kΔr. Закон Гука справедлив только в области малых деформаций, где график силы от удлинения остаётся прямой; её наклон равен жёсткости k, поэтому более жёсткое тело при той же силе деформируется слабее.

Виды деформации и их особенности

Таблица помогает определить вид деформации по тому, какие части тела перемещаются относительно друг друга. В последнем столбце указано, вернётся ли тело к прежней форме: это зависит не только от вида деформации, но и от величины нагрузки. При малой нагрузке деформация обычно упругая, а при превышении предела упругости может стать пластической.

Разбор задач

Задача 1. Тонкую линейку закрепили за один конец и нажали на другой. Определить вид деформации и направление упругой силы.

1. Свободный конец смещается поперёк первоначальной оси, поэтому линейка изгибается.
2. При изгибе её частицы смещаются из исходных положений и создают упругую силу.
3. Эта сила направлена против смещения свободного конца, то есть стремится выпрямить линейку.

Ответ: линейка испытывает изгиб, а упругая сила направлена к исходному положению и противоположно нажатию.

Задача 2. Пружина под действием силы 6 Н удлинилась на 3 см. Найти жёсткость и удлинение при силе 10 Н.

1. Переведём длину в СИ: 3 см = 0,03 м.
2. По закону Гука k = F/Δl = 6 Н/0,03 м = 200 Н/м.
3. Для силы 10 Н получаем Δl = F/k = 10 Н/200 Н/м = 0,05 м = 5 см.

Ответ: жёсткость пружины равна 200 Н/м, удлинение при силе 10 Н равно 5 см.

Задача 3. Две одинаковые пружины жёсткостью 200 Н/м соединены последовательно. Груз растягивает систему силой 4 Н. Найти удлинение каждой пружины и всей системы.

1. При последовательном соединении через каждую пружину проходит одна и та же сила 4 Н.
2. Удлинение одной пружины равно Δl = F/k = 4 Н/200 Н/м = 0,02 м.
3. Удлинения складываются: Δlобщ = 0,02 м + 0,02 м = 0,04 м.

Ответ: каждая пружина удлинилась на 2 см, вся система — на 4 см. Такой результат показывает, что последовательное соединение делает систему менее жёсткой.

Типичные ошибки

Запись Fупр = kΔl без учёта направления применяют как векторную формулу. Так забывают, что сила возвращает тело обратно. Проверяйте: в скалярной записи используют модуль, а векторная имеет вид Fупр = −kΔr.

В закон Гука иногда подставляют полную длину пружины. Но сила зависит только от изменения длины, то есть от Δl. Проверьте условие и найдите разность между конечной и начальной длиной.

Сантиметры и миллиметры без перевода в метры дают неверный численный результат. Это происходит из-за автоматической подстановки привычных единиц. Перед вычислением выпишите все данные в СИ и проверьте единицу ответа.

Закон Гука нельзя применять при любой нагрузке. За пределом упругости тело может сохранять деформацию, а зависимость силы от удлинения перестаёт быть пропорциональной. Уточните, сказано ли в условии о малой деформации или области упругости.

Связь с другими темами

Для решения задач о силе упругости нужны второй закон Ньютона, сложение сил и условия равновесия тела. Векторная запись закона Гука помогает правильно учитывать направления взаимодействий. Поэтому перед вычислениями полезно сделать схему сил.

Закон Гука используется при изучении механических колебаний, маятников и пружинного маятника. В этих системах упругая сила возвращает тело к положению равновесия. От жёсткости пружины зависят характеристики колебаний.

Практически закон применяют при расчёте прочности конструкций, динамометров и упругих элементов механизмов. По удлинению пружины можно измерять силу, а по допустимой деформации — оценивать надёжность детали. При этом всегда учитывают предел упругости материала.

Что запомнить

• Деформация — изменение формы или размеров тела.
• Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки, пластическая сохраняется.
• Упругая сила стремится вернуть тело в исходное состояние.
• Для малых деформаций действует закон Гука: Fупр = k|Δl|.
• Векторная запись закона Гука содержит знак «минус»: Fупр = −kΔr.
• Жёсткость измеряется в Н/м; чем больше k, тем труднее деформировать тело.
• Площадь применимости закона Гука ограничена пределом упругости.