§ 3.9. Закон Гука

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Удлинение или сжатие обозначают Δl. Эта величина показывает, насколько изменился размер тела, и нужна для расчёта силы упругости.

Упругая деформация — деформация, которая исчезает после прекращения действия нагрузки. Тело возвращается к прежней форме, если сила не превысила допустимый предел. Именно для таких деформаций применяют закон Гука.

Сила упругости Fупр — сила, возникающая при деформации тела и направленная против неё. Она появляется из-за взаимодействия частиц внутри тела. Сила стремится уменьшить растяжение или сжатие.

Коэффициент жёсткости k показывает, какая сила нужна для единичной деформации тела. Его единица СИ — Н/м. Большое значение k означает, что тело трудно растянуть или сжать.

Как это устроено

Когда к телу прикладывают внешнюю силу, его частицы немного смещаются относительно друг друга, поэтому меняются форма или размеры тела. Между частицами действуют силы взаимодействия: при растяжении они стремятся сблизить частицы, а при сжатии — не дать им чрезмерно сблизиться. Результатом этого взаимодействия становится сила упругости, возвращающая тело к исходному состоянию.

Направление силы упругости всегда противоположно деформации. При растяжении пружины сила направлена к её исходной длине, а при сжатии — наружу, от области сжатия. Благодаря этому тело не продолжает деформироваться само по себе, а стремится уменьшить изменение формы.

Для малых упругих деформаций модуль силы упругости прямо пропорционален величине деформации: Fупр = k|Δl|. Это означает, что увеличение удлинения в два раза вызывает увеличение силы упругости также в два раза, если материал остаётся в пределах применимости закона. Коэффициент k определяет наклон зависимости силы от деформации.

В векторной форме закон записывают так: F⃗упр = −k·x⃗. Вектор x⃗ задаёт смещение тела из положения равновесия, а знак «минус» показывает противоположность направлений смещения и силы. Закон не действует при любой нагрузке: после выхода за предел упругости деформация может стать необратимой, а зависимость силы от деформации — нелинейной. Кроме того, он обычно описывает малые деформации, при которых свойства материала можно считать неизменными.

Величины и зависимости в законе Гука

Таблица помогает выбрать нужную величину и проверить её единицу измерения. Для вычислений сначала переведите деформацию в метры, затем выберите формулу с неизвестной величиной. При анализе направления используйте векторную запись, а при нахождении модуля силы — формулу без знака «минус».

Разбор задач

Задача 1

Условие: пружина под действием силы 6 Н удлинилась на 3 см. Найти коэффициент жёсткости.

1. Переведём длину в единицы СИ: 3 см = 0,03 м.
2. Используем закон Гука в виде k = F/|Δl|, потому что известны сила и деформация.
3. Подставим значения: k = 6/0,03 = 200 Н/м.

Ответ: k = 200 Н/м.

Задача 2

Условие: к пружине жёсткостью 250 Н/м подвесили груз массой 2 кг. Найти удлинение, если g = 10 Н/кг.

1. При равновесии сила упругости уравновешивает силу тяжести: kΔl = mg.
2. Выразим удлинение: Δl = mg/k.
3. Вычислим: Δl = 2·10/250 = 0,08 м = 8 см.

Ответ: удлинение пружины равно 0,08 м, или 8 см.

Задача 3

Условие: две пружины с жёсткостями k₁ и k₂ соединены последовательно и растягиваются силой F. Найти общее удлинение и эквивалентную жёсткость.

1. При последовательном соединении через обе пружины действует одна и та же сила F.
2. Их удлинения равны Δl₁ = F/k₁ и Δl₂ = F/k₂.
3. Общее удлинение складывается: Δl = F/k₁ + F/k₂ = F(k₁ + k₂)/(k₁k₂). Поэтому 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂, или kэкв = k₁k₂/(k₁ + k₂).

Ответ: Δl = F(k₁ + k₂)/(k₁k₂), kэкв = k₁k₂/(k₁ + k₂).

Типичные ошибки

Сантиметры вместо метров. Так делают, потому что длину часто дают в сантиметрах. Перед вычислением переведите её в метры и проверьте, что единица k получилась Н/м.

Пропуск знака «минус». Формула Fупр = kΔl описывает модуль силы, но для векторов направление обязательно: F⃗упр = −k·x⃗. Проверьте, указано ли в задаче направление или требуется только численное значение.

Применение закона при любой деформации. Ученик может не заметить, что тело уже потеряло упругость или зависимость перестала быть линейной. Убедитесь, что деформация мала и после снятия нагрузки тело возвращается к исходной форме.

Путаница между k и Fупр. Жёсткость характеризует тело, а сила зависит ещё и от деформации. Проверьте формулу: k измеряется в Н/м, а Fупр — в Н.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны понятия силы, второй закон Ньютона, условия равновесия и единицы СИ. Закон Гука применяют при расчёте пружин, динамометров и амортизаторов, а также при изучении колебательных систем. Он служит основой для формулы потенциальной энергии упругой деформации и описания пружинного маятника.

Что запомнить

• Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки.
• Сила упругости направлена против деформации.
• Для малых упругих деформаций Fупр = k|Δl|.
• В векторной форме закон записывается как F⃗упр = −k·x⃗.
• Коэффициент жёсткости измеряется в Н/м.
• Закон Гука справедлив только в области упругих и пропорциональных деформаций.
• Чем больше k, тем труднее деформировать тело.