"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Булатова А.А., Корнильев И.Н., Кошкина А.В.; под редакцией Орлова В.А.
Закон Гука описывает, как пружина сопротивляется растяжению или сжатию: при небольших упругих деформациях сила упругости пропорциональна изменению длины. Это правило помогает находить силу, удлинение или жёсткость пружины, а также объясняет работу динамометров и амортизаторов. Главное — учитывать направление силы, измерять именно изменение длины и применять формулу только в пределах упругой деформации.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Для пружины рассматривают изменение длины: Δl = l − l₀, где l₀ — исходная длина, а l — длина после воздействия. Это обозначение помогает не путать полную длину тела с тем, насколько оно растянулось или сжалось.
Упругая деформация — деформация, которая полностью исчезает после прекращения действия внешней силы. Например, пружина после небольшого растяжения может вернуться к первоначальной длине. Это понятие нужно, чтобы отличать обратимое изменение формы от остаточной деформации.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против неё. Растянутая пружина тянет концы навстречу, а сжатая стремится раздвинуть их. Сила упругости объясняет, почему деформированное тело пытается восстановить исходную форму.
Жёсткость пружины — коэффициент k, характеризующий сопротивление пружины деформации. Чем больше k, тем большая сила нужна для такого же изменения длины. Единица жёсткости в СИ — ньютон на метр (Н/м), поэтому k позволяет сравнивать пружины.
Когда пружину растягивают или сжимают, меняются расстояния между её частями. Части взаимодействуют друг с другом и стремятся вернуться к прежнему расположению, поэтому возникает сила упругости. Она направлена так, чтобы уменьшить деформацию, а не усилить её. После снятия нагрузки эти внутренние взаимодействия возвращают пружину к исходной форме, если деформация была упругой.
При небольшом растяжении или сжатии увеличение деформации в несколько раз приводит к такому же увеличению модуля силы упругости. Причина в том, что внутри рабочего диапазона сопротивление пружины растёт равномерно вместе с изменением её длины. Эта зависимость выражается формулой Fупр = kΔl, где Fупр — модуль силы, Δl — модуль удлинения или сжатия, а k — жёсткость. Например, удвоение Δl при неизменной пружине удваивает силу.
Для описания направления используют векторную форму: F⃗упр = −k·x⃗. Здесь x⃗ — смещение от положения равновесия, а минус означает, что сила направлена в противоположную сторону. Если тело сместилось вправо, сила упругости направлена влево; если тело сместилось влево, сила направлена вправо. В формуле для модулей это направление отдельно не показывают.
Жёсткость зависит от свойств самой пружины: материала, толщины проволоки, диаметра и конструкции. Поэтому две пружины при одинаковом удлинении могут действовать с разными силами. Для данной пружины k остаётся постоянной, пока деформация находится в области применимости закона Гука. Это позволяет считать связь между силой и деформацией линейной.
Закон Гука нельзя без проверки переносить на любое растяжение или сжатие. При слишком большой нагрузке может быть превышен предел упругости: после снятия силы тело уже не вернётся к прежним размерам. Даже до этого предела зависимость может перестать быть линейной, поэтому формула Fупр = kΔl верна только в пределах малых упругих деформаций. При выходе за эти пределы нужно использовать другие сведения о поведении материала.
| Величина или зависимость | Обозначение и формула | Единица СИ | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Деформация | Δl = l − l₀ | м | Изменение длины тела |
| Сила упругости | Fупр | Н | Сила, возвращающая тело к исходной форме |
| Жёсткость пружины | k | Н/м | Сопротивление пружины деформации |
| Закон Гука | Fупр = kΔl | — | Прямая пропорциональность силы упругости и деформации |
| Векторная форма закона | F⃗упр = −k·x⃗ | — | Сила направлена противоположно смещению |
Сначала выбери искомую величину и найди в таблице связь, в которой она участвует. Для расчётов с модулями используй Fупр = kΔl, а направление учитывай отдельно или по векторной формуле. Перед подстановкой проверь, что изменение длины выражено в метрах.
Задача 1. Пружина жёсткостью 250 Н/м растянута на 4 см. Требуется определить модуль силы упругости. Здесь известны k и удлинение, поэтому подходит закон Гука Fупр = kΔl. Сначала переведём удлинение в единицы СИ, а затем вычислим силу.
Ответ: модуль силы упругости равен 10 Н. Проверка показывает, что при увеличении удлинения сила должна возрастать; найденное значение согласуется с жёсткостью 250 Н/м.
Задача 2. Под действием силы 12 Н пружина удлинилась на 3 см. Нужно найти жёсткость. Неизвестен коэффициент k, поэтому преобразуем закон Гука: k = Fупр/Δl. Удлинение обязательно выражаем в метрах, иначе единица результата не будет Н/м.
Ответ: жёсткость пружины равна 400 Н/м. Такой коэффициент означает, что для каждого метра удлинения в линейной модели требуется сила 400 Н; при малых изменениях длины действует та же пропорция.
Задача 3. К пружине жёсткостью 400 Н/м подвесили груз массой 0,8 кг; система находится в равновесии. Найдём удлинение, считая, что закон Гука применим. В равновесии сила тяжести вниз уравновешена силой упругости вверх, значит, по модулям Fупр = mg. Затем из закона Гука выразим Δl.
Ответ: пружина удлинится на 0,02 м, или 2 см. Приближение g ≈ 10 Н/кг использовано для расчёта силы тяжести. Полученное значение применимо, если такое растяжение остаётся упругим.
Подставляют полную длину пружины вместо её удлинения. Так происходит, когда не различают исходное состояние и деформированное: сила зависит от изменившейся длины, а не просто от размера пружины. Проверь себя, выписав l и l₀ отдельно и вычислив Δl = l − l₀.
Оставляют сантиметры при подстановке в формулу. Причина — привычка считать численные значения, не проверяя единицы, но тогда результат для k или F получается неверным. Перед расчётом переведи сантиметры в метры и убедись, что сила измеряется в ньютонах, а жёсткость — в Н/м.
Записывают только величину силы, забывая о её направлении. В задачах на модули знак обычно не нужен, поэтому легко упустить, что сила направлена против смещения. Для проверки нарисуй направление деформации: растяжение должно вызывать силу, направленную обратно, что в векторной записи отражает знак минус.
Применяют закон Гука при любой величине растяжения. Линейная формула кажется универсальной, хотя при выходе за предел упругости пружина может не восстановиться, а зависимость силы от деформации — перестать быть прямой. Перед применением закона проверь условие задачи и не распространяй формулу на область, где деформация уже не является малой и упругой.
Для решения задач нужны понятия силы и массы, условия равновесия, векторы, пропорциональная зависимость и единицы СИ. Поэтому в задаче с подвешенным грузом закон Гука сочетают с формулой силы тяжести, а направления сил проверяют отдельно. Сам закон используют при расчёте пружин, динамометров, амортизаторов и упругих элементов конструкций. Он также подготавливает изучение механических колебаний: там сила упругости может возвращать тело к положению равновесия.
Почему в формуле закона Гука появляется знак «минус»?
Знак минус показывает, что сила упругости направлена противоположно смещению тела от положения равновесия. При растяжении пружина тянет тело обратно, а при сжатии толкает его в обратную сторону.
Чем жёсткость пружины отличается от её длины?
Длина показывает размер пружины, а жёсткость — насколько сильно она сопротивляется деформации. Жёсткость обозначают k, измеряют в Н/м и находят как отношение модуля силы к изменению длины.
Можно ли применять закон Гука к любой деформации?
Нет. Закон Гука применим при упругих деформациях, пока зависимость силы от изменения длины остаётся линейной. За пределом упругости тело может не вернуться к исходной форме, а сила уже не будет пропорциональна деформации.
Почему нужно использовать не длину пружины, а её удлинение?
Сила упругости связана с тем, насколько длина пружины изменилась по сравнению с исходной, а не с её полным размером. Поэтому рассчитывают Δl = l − l₀, где l — длина после деформации, а l₀ — исходная длина.
Как определить жёсткость пружины по графику зависимости силы от деформации?
Для прямой зависимости Fупр от Δl жёсткость равна наклону графика: k = Fупр/Δl. Нужно выбрать точку на прямой и разделить значение силы на соответствующее изменение длины, выраженное в метрах.
2. Закон Гука
