"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Когда пружину растягивают или сжимают, она стремится вернуться к исходной длине. Это действие описывает сила упругости, а закон Гука связывает её с величиной деформации. Чем больше жёсткость тела, тем сильнее оно сопротивляется растяжению или сжатию. Разберём обозначения и формулы, выясним направление силы, научимся решать задачи и узнаем, почему закон работает не при любой деформации.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Например, пружина становится длиннее, если её растянуть, и короче, если сжать. Это понятие помогает описать, что именно происходит с телом, когда на него действуют силы.
Упругая деформация — деформация, после прекращения действия силы которой тело возвращается к первоначальной форме и размерам. Например, пружина обычно принимает прежнюю длину, если растягивать её не слишком сильно. Это свойство позволяет использовать деформацию для измерений и в механических устройствах.
Сила упругости возникает при деформации тела и направлена так, чтобы вернуть его в исходное состояние. Растянутую пружину она тянет обратно, а сжатую — выталкивает к прежней длине. Эта сила объясняет, почему деформированное тело может действовать на другие тела.
Жёсткость тела k характеризует, насколько тело сопротивляется деформации. Для пружины её измеряют в ньютонах на метр (Н/м): чем больше k, тем большую силу нужно приложить для такого же растяжения. Жёсткость нужна, чтобы количественно сравнивать упругие тела.
Возьмём пружину, закреплённую одним концом. Если потянуть за другой конец, пружина растянется, а если надавить — сожмётся; в обоих случаях возникает сила упругости. Она направлена противоположно смещению свободного конца, потому что стремится уменьшить изменение длины и вернуть пружину к исходному состоянию.
Для небольшой упругой деформации модуль силы упругости прямо пропорционален удлинению или сжатию: Fупр = k|Δl|. Это значит, что при увеличении деформации в два раза сила тоже увеличивается в два раза, если жёсткость не меняется. Коэффициент k показывает, какая сила нужна, чтобы изменить длину пружины на один метр.
Направление силы удобно учитывать через проекцию на ось. Если координата x показывает смещение конца пружины от положения равновесия, закон записывают как Fупр = −kx. Знак минус не означает, что модуль силы отрицателен: он сообщает, что проекция силы имеет направление, противоположное смещению. Например, при x > 0 сила направлена в сторону отрицательных значений оси.
Жёсткость зависит от материала и размеров тела: пружина из более жёсткого материала или с более толстой проволокой обычно сопротивляется деформации сильнее. Поэтому для одинакового удлинения ей нужна большая сила. В формуле это различие отражает значение k: чем оно больше, тем больше сила при том же |Δl|.
Пропорциональность силы и деформации выполняется не при любых растяжениях, а только пока деформация остаётся упругой и не превышен предел упругости. Если нагрузка слишком велика, пружина может не вернуться к исходной длине, и простая зависимость Fупр = k|Δl| перестанет описывать её поведение. Поэтому перед применением закона нужно проверить, что речь идёт о небольших упругих деформациях.
| Величина | Обозначение | Смысл | Единица СИ | Связь |
|---|---|---|---|---|
| Удлинение или сжатие | Δl | Изменение длины тела относительно исходной | м | Δl = l − l₀ |
| Сила упругости | Fупр | Сила, стремящаяся устранить деформацию | Н | Fупр = k|Δl| |
| Жёсткость тела | k | Сопротивление тела деформации | Н/м | k = Fупр/|Δl| |
Сначала определите, какая величина известна и какую требуется найти, а затем выберите подходящую запись закона Гука. Для проекций учитывайте направление силы; если нужен только модуль, используйте абсолютное значение деформации. Все длины перед вычислениями переводите в метры.
Задача 1. Пружина удлинилась на 2 см под действием силы 4 Н. Найдите её жёсткость. Искомая величина k, поэтому используем формулу k = F/|Δl|. Перед подстановкой переведём удлинение из сантиметров в метры.
Ответ: жёсткость пружины равна 200 Н/м. Результат показывает, какая сила требуется для удлинения этой пружины на один метр в пределах применимости закона.
Задача 2. Пружина жёсткостью 150 Н/м растянута на 4 см. Найдите модуль силы упругости. Здесь известны k и деформация, поэтому используем формулу Fупр = k|Δl|. Величину в сантиметрах сначала преобразуем в метры.
Ответ: модуль силы упругости равен 6 Н. Если нужно указать направление, сила направлена противоположно растяжению пружины.
Задача 3. К пружине жёсткостью 200 Н/м подвесили груз массой 0,5 кг. Определите удлинение пружины в равновесии. На груз действуют сила тяжести вниз и сила упругости пружины вверх. В состоянии равновесия их модули равны, поэтому k|Δl| = mg.
Ответ: пружина удлинится на 2,5 см. Равенство сил использовано именно из-за равновесия груза, а не потому, что сила упругости всегда равна внешней силе.
Первая ошибка — подставлять сантиметры вместо метров. В таком случае численное значение удлинения отличается в сто раз, и результат для силы или жёсткости получается неверным; часто это происходит из-за невнимательности к единицам в условии. Проверяйте размерность: при вычислении k сила в ньютонах делится на длину в метрах, и итоговая единица должна быть Н/м.
Вторая ошибка — отбросить минус в записи Fупр = −kx, не объяснив направление силы. Минус показывает, что сила направлена против смещения, а не просто является частью формулы; путаница возникает, когда проекцию принимают за модуль. Перед ответом нарисуйте ось и укажите направления, а для модуля явно используйте Fупр = k|x|.
Третья ошибка — применять закон Гука к любой деформации. При чрезмерной нагрузке тело может перестать возвращаться к исходной форме, хотя ученик продолжает подставлять данные в привычную формулу. Уточните, что деформация упругая и предел упругости не превышен; если после снятия нагрузки остаётся изменение формы, закон в таком виде не подходит.
Четвёртая ошибка — считать силу упругости той же самой силой, что и приложенная внешняя. В равновесии они равны по модулю, но направлены противоположно, а при ускоренном движении равенство модулей вообще не обязательно. Проверяйте условие задачи и отдельно отмечайте каждую силу на схеме тела.
Для изучения закона Гука нужно знать, что такое сила и равновесие тела, уметь находить силу тяжести по массе и ускорению свободного падения. Также важно переводить величины в единицы СИ, особенно сантиметры в метры. Эти знания позволяют правильно составить уравнение сил и не ошибиться при вычислениях.
Закон Гука пригодится при изучении колебаний пружинного маятника: упругая сила заставляет груз возвращаться к положению равновесия. Он также помогает решать задачи о равновесии тел, например находить удлинение пружины, удерживающей груз. В обоих случаях нужно учитывать направление силы и область применимости закона.
Почему сила упругости направлена противоположно деформации?
При деформации части тела смещаются относительно друг друга, и возникают силы, стремящиеся вернуть их в исходное положение. Поэтому сила упругости направлена так, чтобы уменьшить растяжение или сжатие.
Чем удлинение пружины отличается от её длины?
Длина — это расстояние между концами пружины в данный момент. Удлинение показывает, насколько эта длина изменилась по сравнению с длиной ненапряжённой пружины: Δl = l − l₀.
Что означает знак минус в формуле закона Гука?
В записи Fупр = −kx знак минус указывает, что сила упругости направлена против смещения x от положения равновесия. Для нахождения только модуля силы используют Fупр = k|x|.
От чего зависит жёсткость пружины?
Жёсткость зависит от материала пружины, её длины, толщины и формы. При прочих равных более жёсткую пружину труднее растянуть или сжать на одинаковое расстояние.
Можно ли применять закон Гука при пластической деформации?
Нет. При пластической деформации тело после снятия нагрузки не возвращается полностью к прежним размерам, а закон Гука применим только в области упругих деформаций, до предела упругости.
2. Закон Гука
