1. Закон Гука

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Различают растяжение, сжатие, изгиб, кручение и сдвиг. Например, если потянуть за концы пружины, она удлинится: это деформация растяжения, а её величина обозначается x.

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против смещения его частей от положения равновесия. Она появляется из-за взаимодействия частиц внутри тела. Благодаря этой силе растянутая пружина стремится сжаться, а сжатая — распрямиться.

Жёсткость пружины — физическая величина, характеризующая её сопротивление деформации. Она обозначается буквой k и измеряется в Н/м. Чем больше k, тем большую силу нужно приложить, чтобы получить такое же удлинение.

Закон Гука устанавливает зависимость силы упругости от деформации в пределах упругости: Fупр = −kx по направлению или Fупр = kx по модулю. Здесь x — деформация, а k — жёсткость пружины. Формула позволяет находить силу, удлинение или жёсткость, если известны две из этих величин.

Как это устроено

Внешняя сила действует на тело и изменяет расположение его частиц. Частицы взаимодействуют между собой, поэтому при растяжении притягиваются обратно, а при сжатии препятствуют дальнейшему сближению. Так внутри тела возникает сила упругости, стремящаяся вернуть прежнее положение равновесия.

При небольшой деформации расстояния между частицами меняются не слишком сильно, и после снятия нагрузки их взаимодействие возвращает тело к исходной форме. Поэтому такую деформацию называют упругой. Если нагрузка превышает допустимую, частицы могут перестроиться, и тело уже не восстановится полностью: деформация станет необратимой.

Опыт с пружиной показывает прямую пропорциональность: если растяжение увеличить в два раза, сила упругости также возрастёт в два раза. При увеличении удлинения в три раза модуль силы увеличится в три раза. Это наблюдение справедливо, пока пружина не вышла за пределы упругости.

Коэффициент k зависит от материала, толщины и длины пружины. Толстая или короткая пружина обычно деформируется меньше, потому что её части сильнее сопротивляются изменению формы. Поэтому при одной и той же силе пружина с большей жёсткостью получает меньшее удлинение.

Закон Гука применим только в пределах упругости, где сила и деформация связаны прямо пропорционально. На графике зависимости Fупр от x это прямая линия, проходящая через начало координат. Её наклон связан с жёсткостью: чем прямая круче, тем больше k.

Величины, используемые при изучении закона Гука

Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти. Затем приведите длину к метрам, выберите нужную форму закона Гука и проверьте единицы результата. Знак минус учитывают при рассмотрении направления, а для модуля силы используют положительное значение.

Разбор задач

Задача 1

Пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 3 см. Требуется найти модуль силы упругости. В формуле длина должна быть выражена в метрах, поэтому сначала переводим сантиметры.

1. Переведём удлинение: x = 3 см = 0,03 м.
2. Используем закон Гука для модуля силы: Fупр = kx.
3. Подставим значения: Fупр = 200 Н/м · 0,03 м = 6 Н.

Ответ: модуль силы упругости равен 6 Н. Единица «метр» сокращается, поэтому получается ньютон.

Задача 2

Под действием силы 6 Н пружина жёсткостью 300 Н/м растянулась. Нужно найти её удлинение. Искомую деформацию выразим из закона Гука, разделив обе части формулы на k.

1. Запишем формулу: Fупр = kx.
2. Выразим удлинение: x = Fупр/k.
3. Вычислим: x = 6 Н / 300 Н/м = 0,02 м.
4. Переведём результат: 0,02 м = 2 см.

Ответ: удлинение пружины равно 0,02 м, или 2 см. При большей жёсткости такое же усилие вызвало бы меньшее удлинение.

Задача 3

К пружине подвесили груз массой 0,5 кг, её жёсткость равна 250 Н/м. Груз находится в равновесии, поэтому сила упругости по модулю равна весу груза. Сначала найдём вес, а затем применим закон Гука.

1. Вычислим вес: P = mg = 0,5 кг · 10 Н/кг = 5 Н.
2. При равновесии Fупр = P = 5 Н.
3. Найдём удлинение: x = Fупр/k = 5 Н / 250 Н/м = 0,02 м.
4. Переведём в сантиметры: x = 2 см.

Ответ: пружина растянулась на 0,02 м, или 2 см. Направления веса и силы упругости противоположны, но их модули в равновесии одинаковы.

Типичные ошибки

Использование сантиметров вместо метров в формуле — частая ошибка при жёсткости в Н/м. Её допускают, потому что в условии длина обычно дана в сантиметрах. Перед вычислением проверьте, что x переведено в метры; иначе ответ будет отличаться в 100 раз.

Иногда силу упругости путают с внешней силой или весом груза. Причина в том, что в состоянии покоя эти силы имеют одинаковые модули, хотя действуют на тело в противоположных направлениях. Проверьте себя рисунком сил или словами: равновесие означает нулевую равнодействующую.

Неверные записи Fупр = k/x или Fупр = k + x нарушают прямую пропорциональность. Закон Гука связывает силу с произведением жёсткости и деформации: Fупр = kx. Полезно проверить размерность: Н/м · м даёт Н.

Нельзя автоматически применять закон Гука к очень большой деформации. При превышении границы упругости пружина может не вернуться к прежней форме, а график перестанет быть прямой линией. Уточните в условии, что деформация происходит в пределах упругости.

Связь с другими темами

До изучения закона Гука нужно знать понятия силы, массы, веса и равновесия, а также единицы длины и силы. При решении задач пригодится умение переводить сантиметры в метры и преобразовывать формулы.

Закон Гука используется при изучении механических свойств материалов и устройства динамометра. Он также связан с работой силы и потенциальной энергией деформированной пружины: чем сильнее деформация, тем больше энергии может накопить пружина.

Что запомнить

• Деформация — изменение формы или размеров тела.
• Сила упругости возникает при деформации и направлена против неё.
• В пределах упругости сила упругости прямо пропорциональна деформации.
• Модуль силы упругости вычисляют по формуле Fупр = kx.
• В векторной форме закон Гука записывают как Fупр = −kx.
• Жёсткость пружины измеряется в Н/м и показывает, насколько пружина сопротивляется деформации.
• Закон Гука нельзя применять за пределами упругости тела.