"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. / Под ред. Парфентьевой Н.А.
Когда пружину растягивают или сжимают, она стремится вернуться к исходной форме и действует на растягивающее или сжимающее тело. Эта сила называется силой упругости. Для небольших деформаций её модуль прямо пропорционален изменению длины: чем сильнее растянута пружина, тем больше сила. Эту закономерность описывает закон Гука; он помогает рассчитывать силы и применяется при изучении колебаний и деформаций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деформация — изменение формы или размеров тела. Её вызывают действующие на тело силы: например, под нагрузкой пружина становится длиннее. Понятие деформации позволяет описать, что именно изменилось, и связать это изменение с приложенной силой.
Упругая деформация — деформация, которая исчезает после прекращения действия силы. Если растянуть такую пружину и отпустить, она возвращается к прежней длине. Это свойство важно для применения закона Гука: он описывает поведение тела, которое ещё способно восстановить исходную форму.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против неё. Растянутую пружину она тянет обратно, а сжатую стремится распрямить. Сила упругости объясняет, почему деформированное тело не остаётся в новом положении после снятия внешней нагрузки.
Закон Гука утверждает, что при малых упругих деформациях сила упругости пропорциональна деформации тела. Если удлинение пружины увеличить в несколько раз, во столько же раз возрастёт модуль силы упругости. Закон позволяет находить силу, деформацию или жёсткость по двум известным величинам.
Закрепим один конец пружины и потянем за другой внешней силой. Расстояние между концами увеличится, поэтому пружина растянется и изменит длину относительно исходной. Пока нагрузка не слишком велика, после её снятия пружина возвращается к прежней длине: произошла упругая деформация.
При деформации части тела смещаются относительно друг друга, а связи между ними стремятся вернуть их в прежнее положение. Из-за этого возникает сила упругости, которая противодействует вызванному смещению. Поэтому растянутая пружина тянет концы друг к другу, а сжатая отталкивает их, стремясь распрямиться.
Для пружины закон записывают так: Fупр = −kx. Здесь Fупр — проекция силы упругости на выбранную ось, x — смещение конца пружины от положения равновесия, k — коэффициент жёсткости. Минус показывает противоположность направлений силы и смещения: при положительном x проекция силы отрицательна.
Модуль силы не бывает отрицательным, поэтому для растяжения на величину x он равен F = kx, если x обозначает положительное удлинение. Это не противоречит записи с минусом: первая формула задаёт проекцию силы с учётом направления, а вторая — только её величину. При растяжении сила направлена обратно удлинению, даже если для вычисления модуля знак не нужен.
Коэффициент k зависит от материала и размеров тела: он показывает, насколько трудно его деформировать. Большая жёсткость означает, что для такого же удлинения потребуется большая сила. Закон применим лишь в пределах упругих деформаций и при достаточно малом изменении длины; если тело не восстанавливает форму или зависимость перестаёт быть пропорциональной, пользоваться этой формулой нельзя.
| Величина или характеристика | Обозначение и соотношение | Смысл и единица СИ |
|---|---|---|
| Деформация пружины | x | Изменение длины относительно исходной; м |
| Сила упругости | Fупр = −kx; модуль F = k|x| | Сила, противодействующая смещению; Н |
| Жёсткость пружины | k = F/|x| | Сопротивление деформации; Н/м |
| Область применимости закона | Малые упругие деформации | Тело возвращается к исходным форме и размерам |
Сначала определите, нужно ли найти модуль силы или её проекцию: для модуля используют положительное значение, а для проекции учитывают направление. Затем подставьте удлинение в метрах и проверьте, что деформация остаётся упругой. Если требуется жёсткость, выразите k из соотношения F = k|x|.
Пружину растянули на 2 см. Жёсткость пружины равна 100 Н/м. Найдите модуль силы упругости. Для модуля используем F = kx, но сначала переведём удлинение в метры, чтобы единицы согласовались с Н/м.
Ответ: 2 Н.
При удлинении пружины на 4 см возникает сила упругости 6 Н. Определите жёсткость пружины. Здесь известны модуль силы и удлинение, поэтому из закона Гука нужно выразить k. Перед делением переведём сантиметры в метры.
Ответ: 150 Н/м.
Пружину жёсткостью 250 Н/м растянули на 3 см. Найдите проекцию силы упругости на ось, направленную вдоль растяжения, если положительное направление оси совпадает с растяжением. В отличие от первых задач, здесь требуется не модуль, а проекция. Поэтому нужно учесть направление силы и знак результата.
Ответ: −7,5 Н.
Первая ошибка — подставить сантиметры вместо метров. Её допускают, забывая, что жёсткость задана в Н/м: число при вычислении тогда получится в сто раз больше или меньше правильного. Перед расчётом переведите длину в СИ и проверьте, что единицы в формуле сокращаются до нужной единицы силы.
Иногда считают, что сила упругости направлена в ту же сторону, что и растяжение. Путаница возникает потому, что растягивающую силу прикладывают именно вдоль растяжения, но это внешняя сила, а не сила упругости. Проверьте направление на схеме: для растянутой пружины сила упругости тянет обратно.
Ещё одна ошибка — записать проекцию как F = kx без минуса. Так можно найти модуль, но не проекцию, если ось положительна в направлении растяжения. Сверьте знак с направлением: сила против положительного смещения должна иметь отрицательную проекцию.
Наконец, закон Гука применяют к любой деформации, не проверяя её характер. Так происходит, если формулу воспринимают как универсальную, хотя она описывает только область упругих деформаций, где сохраняется пропорциональность. Убедитесь, что после снятия нагрузки тело восстанавливает исходную форму и закон применим к данному случаю.
Для работы с законом Гука нужно уметь находить равнодействующую сил и проекцию вектора на ось: это помогает отличать модуль силы от её направления. Также понадобятся единицы СИ, прежде всего перевод сантиметров в метры. При изучении пружинного маятника закон связывает силу с отклонением пружины и помогает описывать колебания; в расчётах деформаций он позволяет оценивать возникающие силы.
Почему сила упругости направлена против деформации?
Деформация смещает части тела из их обычного положения, а взаимодействие между ними стремится вернуть тело к исходной форме. Поэтому сила упругости направлена против смещения, вызванного деформацией.
Что показывает жёсткость пружины?
Жёсткость показывает, насколько сильно пружина сопротивляется растяжению или сжатию. Чем больше k, тем большая сила нужна, чтобы изменить длину пружины на одинаковую величину.
Почему в формуле закона Гука стоит знак минус?
Знак минус показывает, что сила упругости направлена противоположно смещению. Если растяжение считать положительным, проекция силы упругости будет отрицательной.
Когда можно применять закон Гука?
Закон применим для упругих деформаций, пока тело после снятия нагрузки возвращается к исходной форме. Для пружины также предполагается, что деформация достаточно мала и зависимость силы от неё остаётся пропорциональной.
В каких единицах нужно подставлять удлинение пружины?
Удлинение нужно выражать в метрах, поскольку жёсткость измеряется в Н/м, а сила — в ньютонах. Например, 2 см следует перевести в 0,02 м.
§ 35. Закон Гука
