2. Закон Гука

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Она бывает растяжением, сжатием, изгибом и сдвигом: например, пружину можно растянуть, а линейку — согнуть. Это понятие помогает описывать, что именно изменилось в теле, и выбрать нужную величину для расчёта.

Упругая деформация — деформация, которая исчезает после прекращения действия внешней силы. Если отпустить растянутую пружину и она вернулась к прежней длине, деформация была упругой; если изменение осталось, оно пластическое. Различие важно, потому что закон Гука применяют только в области упругого поведения тела.

Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная против неё. Например, растянутая пружина тянет свои концы навстречу друг другу, сопротивляясь растяжению. Эта сила объясняет, почему деформированное тело может стремиться восстановить прежнюю форму.

Жёсткость тела — величина, характеризующая, насколько трудно тело деформировать; её обозначают k и измеряют в Н/м. Чем больше жёсткость пружины, тем большую силу нужно приложить для такого же удлинения. В законе Гука k связывает силу упругости с изменением длины.

Как это устроено

Когда внешняя сила растягивает или сжимает тело, расстояния между его частицами меняются. Частицы начинают взаимодействовать иначе, чем до деформации: например, при растяжении связи между ними сопротивляются дальнейшему удалению. Возникающие силы взаимодействия стремятся вернуть частицы к исходным положениям, и их действие проявляется как сила упругости. Поэтому эта сила направлена против деформации.

При небольшом растяжении пружины сила упругости по модулю растёт пропорционально удлинению: Fупр = k|Δl|. Если удлинение увеличить вдвое, модуль силы тоже увеличится вдвое, пока сохраняется упругий режим. Здесь |Δl| — модуль изменения длины, а k — коэффициент пропорциональности, то есть жёсткость. Для силы, действующей вдоль оси пружины, векторную запись дают в виде Fупр = −kx, где x — знаковое смещение от положения равновесия.

Векторная запись учитывает не только величину силы, но и её направление. Если координату x считать положительной в сторону растяжения, восстанавливающая сила направлена в противоположную сторону, поэтому перед kx стоит минус. Сам модуль силы при этом неотрицателен и равен k|x|. Следовательно, минус в формуле не означает «отрицательную силу», а задаёт направление относительно выбранной оси.

Закон Гука работает не при любой деформации, а в пределах малых упругих изменений. При небольшом растяжении связи между частицами могут обратимо изменяться, поэтому сила растёт пропорционально смещению. Если растянуть тело слишком сильно, зависимость силы от удлинения может стать непропорциональной; при пластической деформации тело после снятия нагрузки не возвращается полностью к прежней форме. Перед расчётом нужно убедиться, что рассматривается область упругости.

Жёсткость зависит от материала и размеров тела, поэтому две пружины одинаковой длины могут вести себя по-разному. При одинаковом удлинении более жёсткая пружина создаёт большую силу упругости, поскольку её k больше. Материал влияет на сопротивление изменению формы, а геометрические размеры — на то, насколько легко деформируется тело. Значение k поэтому относится к конкретному телу, а не только к названию материала.

Величины в законе Гука

Сначала определи, какую величину нужно найти, а затем выбери соответствующую запись закона Гука из последнего столбца. Проверь единицы: длину нужно выражать в метрах, силу — в ньютонах. Таблица описывает модули величин; направление силы учитывается отдельно в векторной форме.

Разбор задач

1. Сила при известном удлинении

Пружина удлинилась на 2 см при жёсткости 100 Н/м. Найти модуль силы упругости. Сантиметры нельзя подставлять напрямую, потому что жёсткость дана в Н/м. Поэтому сначала переводим удлинение в метры, затем используем закон Гука.

1. Переведём длину: 2 см = 0,02 м.
2. Запишем закон для модуля силы: Fупр = k|Δl|.
3. Подставим значения: Fупр = 100 · 0,02 = 2 Н.

Ответ: модуль силы упругости равен 2 Н.

2. Жёсткость и сила при другом удлинении

Под действием силы 6 Н пружина удлинилась на 3 см. Найти её жёсткость и определить силу при удлинении 5 см. Сначала найдём k по известным силе и удлинению: это свойство той же пружины, поэтому его можно использовать и во второй части. После этого подставим новое удлинение в закон Гука.

1. Переведём длины: 3 см = 0,03 м, 5 см = 0,05 м.
2. Выразим жёсткость: k = Fупр/|Δl| = 6/0,03 = 200 Н/м.
3. Найдём силу при удлинении 0,05 м: Fупр = 200 · 0,05 = 10 Н.

Ответ: жёсткость пружины равна 200 Н/м, при удлинении 5 см сила упругости равна 10 Н.

3. Груз на вертикальной пружине

Груз массой 0,5 кг подвешен к вертикальной пружине и покоится. Жёсткость пружины равна 200 Н/м; нужно найти удлинение. Поскольку груз не движется, равнодействующая сил равна нулю: сила упругости уравновешивает силу тяжести. Значит, по модулю k|Δl| = mg, откуда можно найти удлинение.

1. Запишем условие равновесия: Fупр = mg.
2. Подставим закон Гука и выразим удлинение: |Δl| = mg/k.
3. При g ≈ 10 Н/кг получим |Δl| = 0,5 · 10/200 = 0,025 м.
4. Переведём в сантиметры: 0,025 м = 2,5 см.

Ответ: пружина удлинилась на 2,5 см. Сила упругости и сила тяжести равны по модулю, но направлены противоположно.

Типичные ошибки

Подстановка удлинения в сантиметрах вместо метров приводит к неверному результату в сто раз. Так ошибаются, когда не сверяют единицы длины с единицей жёсткости Н/м. Перед вычислением переведи сантиметры в метры и проверь размерность: (Н/м) · м должно дать ньютоны.

Силу упругости иногда принимают за внешнюю силу, растягивающую пружину. В равновесии их модули действительно равны, но направления противоположны: внешняя сила растягивает пружину, а упругая сопротивляется растяжению. Нарисуй обе силы стрелками — это поможет не перепутать их.

Знак минус в Fупр = −kx ошибочно считают указанием на отрицательный модуль силы. Причина в том, что модуль и направление смешивают в одной записи: знак относится к проекции силы на выбранную ось. Проверка проста: модуль равен k|x| и не может быть отрицательным, а минус задаёт противоположное смещению направление.

Ещё одна ошибка — использовать закон Гука при большой или пластической деформации. Пропорциональность силы и удлинения не сохраняется за пределами упругого режима, а после пластической деформации тело не возвращается к исходной форме. Уточни условия задачи и проверь, рассматривается ли небольшая упругая деформация; если это не указано, не делай вывод о пропорциональности автоматически.

Связь с другими темами

Для работы с законом Гука нужны понятия силы и равнодействующей, условие равновесия и единицы СИ. Они позволяют понять, какие силы действуют на тело, и правильно записать уравнение для ситуации. Например, для покоящегося груза на пружине сила упругости уравновешивает силу тяжести.

Закон Гука применяют при изучении колебаний пружинного маятника: сила упругости возвращает груз к положению равновесия. Он также помогает находить условия равновесия тел, соединённых с пружинами. В обоих случаях нужно учитывать направление силы и оставаться в пределах упругих деформаций.

Что запомнить

• Сила упругости возникает при деформации тела.
• Сила упругости направлена против деформации.
• Для малых упругих деформаций Fупр = k|Δl|.
• В векторной форме для пружины Fупр = −kx.
• Жёсткость k измеряется в Н/м.
• Закон Гука применим в пределах упругих деформаций.