"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 3 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч. 1); Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И., под ред. Орлова В.А. (ч. 2); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 3)
Пружины можно соединять последовательно или параллельно, чтобы получить систему с нужной упругостью. Её удобно заменить одной пружиной с эквивалентной жёсткостью: при той же силе она растянется так же, как всё соединение. При последовательной схеме одинаковы силы, а удлинения складываются; при параллельной одинаковы удлинения, а силы складываются. Поэтому в первом случае система становится мягче, а во втором — жёстче.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Жёсткость пружины — коэффициент k в законе Гука F = kx; он показывает, какую силу нужно приложить для единичного удлинения. Здесь F — сила упругости, а x — изменение длины пружины. Чем больше k, тем труднее растянуть пружину на одинаковую величину. Эта характеристика позволяет сравнивать пружины и рассчитывать их деформации.
Последовательное соединение пружин — соединение, при котором пружины расположены одна за другой, а конец одной соединён с началом другой. Сила передаётся от одной пружины к следующей через места соединения. Такую схему важно узнавать, чтобы правильно определить, какие величины одинаковы у её частей. В частности, для идеальных пружин одинаковой будет сила упругости.
Параллельное соединение пружин — соединение, при котором обе пружины прикреплены к одним и тем же опорам и имеют одинаковое удлинение. Опоры перемещаются совместно, поэтому каждая пружина растягивается на одну и ту же величину. Это определение помогает не перепутать параллельную схему с последовательной. Силы отдельных пружин при этом могут различаться.
Эквивалентная жёсткость — жёсткость одной пружины, которая при той же силе даёт такое же удлинение, как соединение пружин. Её обозначают k и находят по жёсткостям отдельных пружин. Благодаря этому сложную систему можно заменить одной пружиной в расчёте. Такая замена сохраняет связь между общей силой и полным удлинением.
Для одной пружины закон Гука записывают как F = kx: сила упругости пропорциональна удлинению. Коэффициент пропорциональности k характеризует упругие свойства пружины. Если силу увеличить в несколько раз, удлинение тоже возрастёт во столько же, пока пружина работает в пределах закона Гука. Именно эта простая зависимость позволяет свести расчёт нескольких пружин к формулам для их соединения.
При последовательном соединении пружины тянут друг друга через соединение. Для невесомого участка между ними силы уравновешены, поэтому сила, действующая в каждой пружине, одинакова. При этом свободные концы системы удаляются друг от друга на сумму удлинений: x = x₁ + x₂ + … . Это происходит потому, что удлинение каждого звена добавляет свой вклад в общее изменение длины.
Чтобы найти эквивалентную жёсткость последовательной системы, применим закон Гука к каждой пружине: xᵢ = F/kᵢ. Подставим эти удлинения в их сумму: x = F/k₁ + F/k₂ + … . Для одной эквивалентной пружины то же удлинение равно F/k, поэтому после сокращения на F получаем 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ + … . Складываются обратные жёсткости, потому что при одной силе складываются удлинения.
При параллельном соединении обе пружины закреплены на общих опорах. Если одна опора сдвинулась, другая сторона каждой пружины переместилась на такое же расстояние, поэтому удлинения равны. Каждая пружина тянет опору своей силой, а суммарную силу даёт сложение сил: F = F₁ + F₂ + … . Так равновесие общей опоры связывает действия отдельных пружин.
Для параллельной системы закон Гука даёт Fᵢ = kᵢx, поскольку удлинение x у всех пружин одно и то же. Складывая силы, получаем F = (k₁ + k₂ + …)x, а значит, k = k₁ + k₂ + … . При последовательном соединении система мягче каждой отдельной пружины: для той же силы она растягивается сильнее. Параллельная система жёстче, потому что при том же удлинении пружины вместе создают большую силу.
| Свойство | Последовательное соединение | Параллельное соединение |
|---|---|---|
| Схема расположения пружин | Пружины расположены одна за другой | Пружины закреплены на одних и тех же опорах |
| Одинаковая сила упругости в пружинах | Да | Нет, силы могут различаться |
| Связь общего удлинения с удлинениями отдельных пружин | Удлинения складываются | Удлинения одинаковы |
| Связь общей силы с силами упругости отдельных пружин | Сила в пружинах одинакова | Силы складываются |
| Формула эквивалентной жёсткости | 1/k = 1/k₁ + 1/k₂ + … | k = k₁ + k₂ + … |
| Сравнение эквивалентной жёсткости с жёсткостью отдельных пружин | Меньше каждой | Больше каждой |
| Распределение удлинения или силы между пружинами | Сила одинакова; мягкая пружина удлиняется сильнее | Удлинение одинаково; жёсткая пружина испытывает большую силу |
Сначала определите по расположению пружин тип соединения, затем найдите величину, которая у всех элементов одинакова. После этого используйте соответствующее правило для суммарного удлинения или силы. Таблица также помогает проверить, согласуется ли ответ с ожидаемым: последовательная система мягче, параллельная — жёстче.
Две пружины с жёсткостями 100 Н/м и 300 Н/м соединены последовательно. Найдём эквивалентную жёсткость и сравним её с жёсткостью каждой пружины. Для такой схемы одинаковы силы, а складываются удлинения. Поэтому следует складывать обратные жёсткости, а не сами значения k.
Ответ: эквивалентная жёсткость равна 75 Н/м. Полученный результат можно проверить по физическому смыслу: при той же силе вся система растягивается сильнее каждой из пружин по отдельности. Следовательно, её жёсткость должна быть меньше меньшей из двух исходных жёсткостей. Число 75 Н/м этому условию удовлетворяет.
Пружины жёсткостями 200 Н/м и 300 Н/м соединены параллельно. К системе приложена сила 10 Н; требуется найти эквивалентную жёсткость и общее удлинение. Поскольку опоры общие, удлинение у пружин одинаково, а их силы складываются. Это позволяет сначала заменить соединение одной пружиной.
Ответ: эквивалентная жёсткость равна 500 Н/м, общее удлинение — 0,02 м, или 2 см. Проверка показывает, что суммарная жёсткость больше каждой из исходных. Поэтому для силы 10 Н система растягивается меньше, чем растянулась бы любая из этих пружин отдельно.
Две пружины с жёсткостями 100 Н/м и 400 Н/м соединены последовательно и растянуты силой 20 Н. Нужно найти удлинение каждой пружины и полное удлинение системы. В последовательной схеме через обе пружины действует одна и та же сила 20 Н. Поэтому удлинения можно вычислить по отдельности, а затем сложить.
Ответ: первая пружина удлинилась на 0,2 м, вторая — на 0,05 м, полное удлинение равно 0,25 м. Первая пружина растянулась сильнее, потому что её жёсткость меньше. Проверить расчёт можно через эквивалентную жёсткость: она равна 80 Н/м, а 20/80 = 0,25 м.
Ошибка: складывать жёсткости при последовательном соединении. Так поступают, перенося правило для параллельной схемы, но забывают, что в последовательной складываются удлинения. Чтобы проверить себя, сравните результат с жёсткостью каждой пружины: эквивалентная жёсткость должна быть меньше меньшей из них.
Ошибка: считать, что при последовательном соединении удлинения пружин одинаковы. Одинакова сила, а удлинения зависят от жёсткости по формуле x = F/k. Путаница возникает, когда свойства последовательной схемы смешивают со свойствами параллельной. Подставьте одинаковую силу в закон Гука для каждой пружины: меньшая жёсткость даст большее удлинение.
Ошибка: считать одинаковыми силы параллельных пружин. В такой схеме одинаково удлинение, а сила каждой пружины равна kᵢx, поэтому более жёсткая пружина тянет сильнее. Ошибку допускают, перенося на параллельную схему правило о равных силах при последовательном соединении. Проверка проста: сложите силы отдельных пружин — их сумма должна равняться общей силе.
Ошибка: применять формулы соединения при любом удлинении. Формулы получены из закона Гука, а при слишком большой деформации сила может перестать быть пропорциональной удлинению. Обычно ошибку вызывает забытая область применимости модели. Проверяйте, остаётся ли деформация упругой и действует ли для пружины закон F = kx.
Для изучения соединения пружин нужны закон Гука, понятия силы упругости, жёсткости и удлинения, а также правила сложения сил. Эти знания позволят определить, какие величины одинаковы в каждой схеме и как связаны части системы. Позже такие расчёты пригодятся при изучении механических систем, колебаний и амортизаторов. Сходные правила встречаются в электрических цепях, но аналогия относится к математике соединений, а не к физическому смыслу величин.
Почему при последовательном соединении жёсткость получается меньше жёсткости каждой отдельной пружины?
При одной и той же силе растягиваются все пружины, а их удлинения складываются. Поэтому вся система удлиняется сильнее любой отдельной пружины, и для неё эквивалентная жёсткость меньше.
Почему при параллельном соединении нужно складывать жёсткости?
Параллельные пружины имеют одинаковое удлинение, но каждая создаёт свою силу упругости. Общая сила равна сумме этих сил, поэтому при одинаковом удлинении складываются и жёсткости.
Какая величина одинакова для пружин при последовательном соединении?
Одинакова сила упругости в каждой пружине. Это следует из равновесия соединённых элементов: сила, передаваемая одной пружиной, действует на следующую.
Как определить, какая пружина сильнее растянется в последовательной системе?
Сравните жёсткости: при одинаковой силе удлинение x = F/k. Значит, сильнее растянется пружина с меньшей жёсткостью.
Можно ли применять формулы соединения пружин при любых удлинениях?
Нет, эти формулы основаны на законе Гука, который применим в пределах упругой деформации. При слишком большом растяжении зависимость силы от удлинения может перестать быть линейной.
3. Соединение пружин
