"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Пружины можно соединять последовательно или параллельно, чтобы получить систему с нужной жёсткостью. Жёсткость показывает, насколько пружина сопротивляется деформации. При последовательном соединении одинаковой остаётся сила, а удлинения складываются; при параллельном одинаково удлинение, а силы складываются. Эти условия помогают вывести формулы эквивалентной жёсткости и решать задачи с несколькими пружинами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Жёсткость пружины — коэффициент k в законе Гука F = kx, где F — модуль силы упругости, а x — удлинение или сжатие пружины. Жёсткость показывает, насколько сильно пружина сопротивляется деформации: чем больше k, тем больше сила нужна для того же изменения длины. Единица жёсткости в СИ — ньютон на метр (Н/м). Эта величина нужна, чтобы сравнивать пружины и рассчитывать силу или деформацию.
Последовательное соединение пружин — соединение, при котором пружины расположены одна за другой. Через каждую действует одна и та же сила, если массой пружин и соединителей можно пренебречь. Удлинения при этом могут быть разными. Такое описание позволяет найти, как меняется общая деформация системы под действием нагрузки.
Параллельное соединение пружин — соединение, при котором оба конца каждой пружины закреплены на общих опорах. Поэтому все пружины имеют одинаковое удлинение. Силы упругости отдельных пружин могут различаться, если различны их жёсткости. Это определение помогает понять, как система распределяет нагрузку между пружинами.
Эквивалентная жёсткость — жёсткость одной пружины, которой можно заменить систему пружин, не меняя её связи между силой и общей деформацией. Её обозначают kэкв и выражают в Н/м. Если известна эквивалентная жёсткость, всю систему можно рассчитывать по обычному закону Гука. Это упрощает расчёты составных соединений.
Для каждой пружины, работающей в пределах применимости закона Гука, сила упругости пропорциональна её деформации: F = kx. Коэффициент пропорциональности k зависит от самой пружины, а не от выбранного удлинения. Поэтому для пружины с большей жёсткостью при одинаковом x сила будет больше. Закон Гука становится основой для вывода формул соединения: нужно установить, какие величины одинаковы и как они складываются.
В последовательной цепочке одна пружина тянет следующую, поэтому при равновесии через обе проходит сила одного и того же модуля F. Для пружин с жёсткостями k₁, k₂, … их удлинения равны x₁ = F/k₁, x₂ = F/k₂ и так далее. Концы всей системы расходятся на суммарное расстояние x = x₁ + x₂ + …, потому что удлинение каждого участка добавляется к общему. Подставляя выражения для частных удлинений в закон F = kэквx, получаем 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂ + … .
Из формулы для последовательного соединения видно, что обратная эквивалентная жёсткость равна сумме положительных обратных жёсткостей. Для двух пружин это означает, что 1/kэкв больше, чем 1/k₁ и 1/k₂ по отдельности, а значит, kэкв меньше каждой из двух жёсткостей. Причина физическая: под той же нагрузкой обе пружины растягиваются, и их удлинения складываются. Поэтому система в целом деформируется сильнее одной пружины.
При параллельном соединении общие опоры перемещаются вместе, поэтому каждая пружина удлиняется на одно и то же расстояние x. Сила, которую нужно приложить к системе, уравновешивает сумму сил упругости: F = F₁ + F₂ + … . По закону Гука F₁ = k₁x, F₂ = k₂x и так далее, поэтому F = (k₁ + k₂ + …)x. Сравнение с F = kэквx даёт формулу kэкв = k₁ + k₂ + … .
Выбирая формулу, сначала выясните, что одинаково у элементов соединения. Если пружины стоят одна за другой, одинаковой является сила, а складываются удлинения; тогда складывают обратные жёсткости. Если пружины соединены параллельно, одинаково удлинение, а складываются силы; тогда складывают сами жёсткости. Этот порядок рассуждений помогает не путать формулы даже в системе, где встречаются оба вида соединения.
| Свойство | Последовательное соединение | Параллельное соединение |
|---|---|---|
| Одинаковая для всех пружин величина | Сила | Удлинение |
| Связь общей деформации с деформациями отдельных пружин | Общее удлинение равно сумме удлинений пружин | Удлинение каждой пружины равно общему |
| Формула эквивалентной жёсткости | 1/kэкв = 1/k₁ + 1/k₂ + … | kэкв = k₁ + k₂ + … |
| Сравнение эквивалентной жёсткости с жёсткостью отдельных пружин | Меньше жёсткости каждой пружины | Больше жёсткости каждой пружины |
Пользуйтесь таблицей после того, как определили устройство соединения: она связывает геометрию системы с нужной формулой. Сначала найдите одинаковую для пружин величину, затем установите, складываются ли деформации или силы. Сравнение жёсткостей в последней строке помогает проверить, не перепутаны ли формулы.
Две пружины жёсткостью 100 Н/м и 300 Н/м соединены последовательно. Требуется найти жёсткость, которой можно заменить эту систему. Так как пружины стоят одна за другой, через обе действует одна сила, а их удлинения складываются. Значит, используем формулу для суммы обратных жёсткостей.
Ответ: 75 Н/м.
Две одинаковые пружины жёсткостью 200 Н/м соединены параллельно. Нужно растянуть систему на 5 см и определить приложенную силу. При таком соединении обе пружины удлиняются одинаково, а их силы упругости складываются. Сначала заменим их одной пружиной, а затем применим закон Гука.
Ответ: 20 Н.
Пружины жёсткостью 120 Н/м и 240 Н/м соединены последовательно, а полученная система — параллельно с пружиной жёсткостью 80 Н/м. Требуется найти жёсткость всей системы. Нельзя сразу сложить все три значения: сначала нужно заменить последовательный участок одной эквивалентной пружиной. Затем для параллельного участка складываются жёсткости.
Ответ: 160 Н/м.
Складывают жёсткости при последовательном соединении. Так происходит, если запомнить формулу параллельного соединения и применить её к любой системе. При последовательном соединении складываются обратные жёсткости, потому что складываются удлинения при одинаковой силе. Проверьте результат: жёсткость последовательной пары должна быть меньше жёсткости каждой пружины.
Используют сумму обратных жёсткостей для параллельного соединения. Эту формулу переносят с последовательной схемы, не проверив, что именно одинаково в пружинах. При параллельном соединении удлинения совпадают, а силы складываются, поэтому складываются k. Для проверки сравните результат с отдельными жёсткостями: параллельная система должна быть жёстче каждой из пружин.
Считают, что при последовательном соединении удлинения одинаковы. Это верно не всегда: одинаковой является сила, а по закону Гука удлинение равно x = F/k. Поэтому пружины с разной жёсткостью растянутся по-разному. Проверка проста: для каждой пружины отдельно вычислите xᵢ = F/kᵢ и сложите значения, чтобы получить общее удлинение.
Подставляют сантиметры в закон Гука без перевода в метры. Ошибка возникает, когда рядом с жёсткостью в Н/м используют удлинение в сантиметрах. Тогда единицы измерения не согласованы и численный ответ в СИ получается неверным. Перед вычислением переведите длину в метры, например 5 см = 0,05 м, а после расчёта проверьте, что сила выражена в ньютонах.
Для изучения соединений пружин нужны закон Гука, понятия силы упругости и деформации, а также умение складывать силы и перемещения. Закон Гука связывает силу с удлинением каждой пружины, а правила сложения помогают перейти от отдельных элементов к системе. Эквивалентную жёсткость применяют при анализе механических систем и колебаний. Она позволяет заменить несколько пружин одной и затем находить период колебаний тела на пружине.
Почему при последовательном соединении пружин сила в каждой из них одинакова?
Пружины соединены одна за другой, поэтому натяжение передаётся от одной к другой. Если пренебречь массой соединителя и пружин, сила упругости в каждой пружине имеет одинаковый модуль.
Почему две пружины, соединённые последовательно, мягче каждой из них по отдельности?
При одной и той же силе растягиваются обе пружины, и их удлинения складываются. Поэтому система удлиняется больше, чем каждая пружина отдельно, а её эквивалентная жёсткость меньше жёсткости любой из них.
Почему при параллельном соединении складываются жёсткости?
Параллельно соединённые пружины растягиваются на одинаковую величину. Каждая создаёт свою силу упругости, а общая сила равна сумме этих сил; по закону Гука это и даёт сумму жёсткостей.
Как найти жёсткость системы, в которой есть и последовательные, и параллельные участки?
Сначала объединяют пружины, образующие самый простой участок, и заменяют их одной пружиной с эквивалентной жёсткостью. Затем повторяют расчёт для следующего участка, выбирая формулу по типу соединения.
Можно ли применять формулы соединения пружин, если они растянуты не одинаково?
Да, формулы применимы и при разных удлинениях отдельных пружин, если пружины подчиняются закону Гука и соединение устроено соответствующим образом. При последовательном соединении удлинения обычно различаются, а при параллельном они одинаковы.
3. Соединение пружин
