§ 4.3. Неинерциальные системы отсчета, движущиеся прямолинейно с постоянным ускорением

Определения и обозначения

Неинерциальная система отсчёта — система, движущаяся относительно инерциальной с ускорением. В ней свободное тело может иметь ускорение даже без действия реальных сил. Это понятие нужно, чтобы правильно описывать движение из лифта, вагона или автомобиля.

Поступательно движущаяся система отсчёта — система, все точки которой в каждый момент имеют одинаковые скорость и ускорение. Такая система не вращается, поэтому её движение можно характеризовать одним переносным ускорением. Это упрощает переход от одной системы к другой.

Переносное ускорение — ускорение, с которым неинерциальная система движется относительно инерциальной. Обозначим его a_пер. Оно показывает, как само начало отсчёта и вся система меняют скорость.

Сила инерции — дополнительная сила, которую вводят в неинерциальной системе. Для тела массой m она равна F_ин = −mа_пер. Это не сила взаимодействия, а способ учитывать ускорение системы в уравнениях.

Как это устроено

Система, движущаяся прямолинейно с постоянным ускорением, не может быть инерциальной. В инерциальной системе свободное тело сохраняет покой или движется равномерно, если равнодействующая реальных сил равна нулю. В ускоренной системе то же тело меняет координату относительно наблюдателя, потому что меняется скорость самой системы.

Ускорение тела в инерциальной системе складывается из двух частей: ускорения относительно подвижной системы и ускорения этой системы. Формула имеет вид a = a_отн + a_пер. Она показывает, что изменение движения тела для земного наблюдателя включает как собственное движение тела внутри системы, так и перенос вместе с лифтом, вагоном или автомобилем.

В инерциальной системе второй закон Ньютона записывают как ΣF = ma. Подставим связь ускорений: ΣF = m(a_отн + a_пер). После переноса слагаемого mа_пер в левую часть получаем ΣF − mа_пер = ma_отн. Поэтому в ускоренной системе появляется сила инерции F_ин = −mа_пер, направленная противоположно ускорению системы.

С учётом этой силы второй закон Ньютона сохраняет привычный вид: ΣF_реал + F_ин = ma_отн. Здесь слева находятся реальные силы и добавленная сила инерции, а справа — ускорение относительно ускоренной системы. Если тело покоится в ней, то a_отн = 0, и все силы уравновешиваются.

Сила инерции зависит от выбора системы отсчёта: в земной инерциальной системе её вводить не нужно, а в ускоренной системе без неё уравнение будет неполным. Это не означает, что сила выдумана произвольно: она точно компенсирует влияние ускоренного движения системы на описание тела. Благодаря ей наблюдатель внутри вагона или лифта может правильно рассчитывать движение, пользуясь только доступными ему величинами.

Описание движения в инерциальной и равномерно ускоренной системах отсчёта

Сначала определите, относительно какой системы задано движение, и найдите её ускорение. Затем выберите строку с нужным законом Ньютона и проверьте направление силы инерции.

Если тело покоится в K′, используйте условие равновесия в этой системе. Если оно движется, справа в уравнении оставляйте ускорение a_отн.

Разбор задач

1. Человек в ускоряющемся лифте

Лифт движется вверх с ускорением a, человек имеет массу m. Требуется найти силу давления человека на пол. Удобно рассматривать систему лифта, в которой человек покоится.

1. На человека действуют сила тяжести mg вниз и реакция пола N вверх.
2. Сила инерции в системе лифта направлена вниз и равна ma.
3. Так как человек покоится относительно лифта, N − mg − ma = 0.
4. По третьему закону Ньютона сила давления на пол по модулю равна реакции N.

Ответ: F = N = m(g + a), направление давления — вниз. Давление больше обычного, потому что пол должен сообщать человеку ускорение вверх.

2. Груз на нити в разгоняющемся автомобиле

Автомобиль движется горизонтально с ускорением a, груз массой m подвешен на нити. Нужно определить угол α отклонения нити от вертикали. В системе автомобиля груз покоится, поэтому удобно использовать силу инерции.

1. На груз действуют mg вниз, натяжение нити T и сила инерции ma назад, противоположно ускорению автомобиля.
2. Для равновесия горизонтальная составляющая натяжения компенсирует силу инерции, а вертикальная — силу тяжести.
3. Из отношений составляющих получаем tg α = ma/(mg) = a/g.

Ответ: α = arctg(a/g), нить отклонена назад, то есть противоположно ускорению автомобиля.

3. Брусок на наклонной плоскости в вагоне

Наклонная плоскость образует угол α с горизонтом, вагон ускоряется горизонтально. Нужно найти такое ускорение вагона, при котором брусок покоится относительно плоскости. Трение отсутствует, поэтому вдоль плоскости должны уравновеситься составляющие силы тяжести и силы инерции.

1. В системе вагона сила инерции направлена против ускорения вагона и равна ma.
2. Вдоль плоскости составляющая тяжести равна mg sin α, а составляющая силы инерции — ma cos α.
3. При относительном покое ma cos α = mg sin α.
4. После сокращения массы получаем a = g tg α.

Ответ: ускорение вагона должно иметь величину a = g tg α и быть направлено так, чтобы сила инерции действовала вверх вдоль плоскости.

Типичные ошибки

Считать ускоренную систему инерциальной. Тогда применяют второй закон только к реальным силам и получают неверное ускорение. Проверьте, есть ли у системы собственное ускорение; если оно не равно нулю, добавьте силу инерции.

Направлять силу инерции вместе с ускорением системы. Ошибка возникает из-за того, что обе величины связывают с одним движением. Нарисуйте стрелку ускорения K′, а силу инерции направьте строго в обратную сторону.

Путать ускорения тела. Ускорение относительно Земли a не равно автоматически ускорению относительно вагона a_отн. Используйте связь a = a_отн + a_пер.

Учитывать силу инерции дважды. В инерциальной системе работают только реальные силы, а в неинерциальной добавляют силу инерции. Нельзя смешивать оба описания в одном уравнении.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны признаки инерциальных систем, второй закон Ньютона и правило сложения ускорений. Эти знания позволяют перейти от описания движения относительно Земли к описанию из лифта, вагона или автомобиля.

Метод сил инерции применяется в задачах о транспорте и подъёмниках. Позже он обобщается на вращающиеся системы отсчёта, где появляются центробежная и кориолисова силы.

Что запомнить

• Система, движущаяся с ускорением относительно инерциальной, является неинерциальной.
• Для поступательно движущейся системы все её точки имеют одинаковое ускорение.
• Ускорение тела в инерциальной системе равно сумме относительного и переносного ускорений.
• В неинерциальной системе к реальным силам добавляют силу инерции.
• Сила инерции равна по модулю произведению массы тела на ускорение системы.
• Сила инерции направлена противоположно ускорению неинерциальной системы.
• В ускоренной системе второй закон Ньютона записывают с учётом силы инерции.