§ 7.3. Центр масс твердого тела. Импульс твердого тела

Определения и обозначения

Центр масс — точка, положение которой описывает распределение массы тела или системы тел. Для частей с массами mᵢ и радиус-векторами rᵢ его радиус-вектор равен rцм = (Σmᵢrᵢ)/M, где M = Σmᵢ — общая масса. Формула показывает, что положение этой точки зависит не только от расположения частей, но и от их масс. Она позволяет заменить сложную систему при описании поступательного движения одной точкой.

Радиус-вектор центра масс — вектор от выбранного начала отсчёта до центра масс. Для системы материальных точек его записывают как rцм = (m₁r₁ + m₂r₂ + … + mₙrₙ)/(m₁ + m₂ + … + mₙ). Радиус-вектор включает и направление, и расстояние до точки. Он нужен, чтобы задавать положение центра масс в выбранной системе координат.

Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Направление импульса совпадает с направлением скорости, а его единица измерения — кг·м/с. Импульс используют, чтобы описывать движение тела и применять закон сохранения импульса.

Импульс твердого тела — суммарный импульс всех его частей. Для тела общей массой M он равен P = Mvцм, где vцм — скорость центра масс. Это определение удобно тем, что для полного импульса не нужно отдельно складывать импульсы каждой точки тела.

Как это устроено

Формулу центра масс можно получить, если каждому положению rᵢ назначить вес, равный доле массы mᵢ в общей массе M. Тогда сумма положений с такими весами даёт rцм = Σ(mᵢ/M)rᵢ = Σmᵢrᵢ/M. Это среднее, но не обычное арифметическое: в нём координата каждой части умножается на её массу. Поэтому увеличение массы части сильнее меняет итоговое положение центра масс в её сторону.

В координатах формула записывается отдельно для каждой оси: xцм = Σmᵢxᵢ/M, yцм = Σmᵢyᵢ/M, zцм = Σmᵢzᵢ/M. Сначала выбирают начало и направления осей, затем задают координаты частей именно относительно них. Если перенести начало координат, численные значения координат изменятся, но положение центра масс относительно самих частей останется тем же. Такой способ особенно удобен, когда все точки лежат на одной прямой или в одной плоскости.

У однородного тела одинаковой плотности равные по объёму области имеют одинаковую массу. Если форма тела симметрична, симметричные области по разные стороны геометрического центра уравновешивают друг друга, поэтому центр масс совпадает с этим центром. Если плотность неодинакова, более массивные области перевешивают менее массивные. Тогда центр масс смещается, хотя внешний контур может сохранять симметрию.

Обозначим скорость центра масс через vцм, а скорость i-й части относительно него — через uᵢ. Скорость каждой части тогда равна vᵢ = vцм + uᵢ, и её импульс равен mᵢvᵢ. При сложении импульсов получается сумма Mvцм и сумма mᵢuᵢ. По определению центра масс взвешенные относительные положения частей дают ноль; при неизменной форме тела их производные по времени тоже дают ноль, то есть Σmᵢuᵢ = 0.

В результате полный импульс твёрдого тела равен P = Mvцм. Это верно и для тела, которое одновременно движется поступательно и вращается: вращение меняет скорости отдельных точек, но их относительные составляющие в сумме взаимно компенсируются. Поэтому нельзя прибавлять к полному импульсу отдельный «импульс вращения». Вращение важно для импульса конкретной точки, но полный импульс определяется скоростью центра масс.

Центр масс и импульс твердого тела

Сначала определите, нужно ли найти положение центра масс, его координаты или импульс тела, а затем выберите соответствующую строку таблицы. Во всех формулах M — сумма масс частей, а координаты задаются относительно одного начала отсчёта. Если тело вращается, для его полного импульса всё равно используйте скорость центра масс.

Разбор задач

Задача 1. Две точечные массы 2 кг и 6 кг расположены на одной прямой на расстоянии 4 м друг от друга. Найдите положение центра масс, отсчитывая координату от первой массы. Начало координат удобно совместить с первой массой, поэтому координаты точек равны 0 и 4 м. Тогда координата центра масс будет отсчитана от нужной точки без дополнительного преобразования.

1. Записываем массы и координаты: m₁ = 2 кг, x₁ = 0 м, m₂ = 6 кг, x₂ = 4 м.
2. Используем формулу xцм = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂).
3. Подставляем значения: xцм = (2·0 + 6·4)/(2 + 6) = 24/8 = 3 м.

Ответ: центр масс находится в 3 м от первой массы, то есть на расстоянии 1 м от второй. Он расположен ближе к массе 6 кг, поскольку она в три раза массивнее первой.

Задача 2. Однородную пластину симметричной формы вырезали с небольшим отверстием у края. Качественно определите, где находится центр масс относительно геометрического центра оставшейся пластины. До вырезания симметрия уравновешивала распределение массы. После удаления части у края масса с этой стороны стала меньше.

1. Представим, что вырезанную часть можно вернуть: вместе с ней пластина была бы симметричной и центр масс находился бы в геометрическом центре.
2. Удаление массы у края убирает вклад, который тянул центр масс в сторону отверстия.
3. Поэтому центр масс оставшейся пластины смещается от отверстия, в сторону большей массы.

Ответ: центр масс окажется с противоположной от отверстия стороны геометрического центра исходной пластины. Точное положение без размеров отверстия и пластины определить нельзя.

Задача 3. Твердое тело массой 5 кг одновременно движется поступательно со скоростью 3 м/с и вращается. Найдите его полный импульс и укажите, каких данных о вращении не хватает для вычисления импульса отдельной точки тела. Скорость поступательного движения здесь является скоростью центра масс.

1. Для полного импульса используем P = Mvцм.
2. Подставляем данные: P = 5·3 = 15 кг·м/с.
3. Чтобы найти импульс отдельной точки, нужно знать её скорость; при вращении она зависит от положения точки относительно оси и угловой скорости.

Ответ: полный импульс равен 15 кг·м/с и направлен по скорости центра масс. Для импульса отдельной точки не хватает данных о её положении относительно оси вращения и угловой скорости тела.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что центр масс всегда совпадает с геометрическим центром. Такое совпадение есть у однородного тела подходящей симметричной формы, но неоднородное распределение массы может его нарушить. Ошибку допускают, принимая во внимание только внешний контур. Проверьте, одинаково ли распределена масса по симметричным частям.

Ошибка — брать обычное среднее координат точек и не учитывать их массы. Оно верно лишь в частном случае равных масс, а в общем каждая координата должна быть умножена на соответствующую массу. Простая проверка: если одна масса намного больше, центр масс должен оказаться ближе к ней. Если расчёт этого не показывает, проверьте веса в формуле.

Ошибка — подставлять в формулу полного импульса скорость любой точки тела. При вращении точки движутся с разными скоростями, поэтому скорость края тела, например, не обязательно равна скорости центра масс. Используйте P = Mvцм. Проверка: выбранная скорость должна описывать поступательное движение всего тела, а не движение отдельной его части.

Ошибка — считать, что вращение обязательно добавляет отдельное слагаемое к полному импульсу. Такое представление возникает из-за того, что при вращении скорости точек отличаются друг от друга. Но их относительные импульсы в сумме компенсируются, и остаётся P = Mvцм. Проверьте, не складываете ли вы полный импульс с величиной, относящейся к вращению вокруг центра масс.

Связь с другими темами

Для изучения центра масс понадобятся масса, радиус-вектор, скорость и импульс материальной точки, а также сложение векторов. Формулы центра масс и полного импульса помогают описывать движение системы тел и решать задачи на закон сохранения импульса, в том числе при столкновениях. Представление о движении центра масс отдельно от вращения подготавливает к дальнейшему изучению динамики твердого тела.

Что запомнить

• Положение центра масс определяется распределением массы.
• Вклад каждой части в положение центра масс пропорционален её массе.
• Для симметричного однородного тела центр масс находится в его геометрическом центре.
• Полный импульс твердого тела равен произведению его массы на скорость центра масс.
• При расчёте полного импульса не требуется отдельно учитывать вращение тела.
• Центр масс может находиться вне вещества тела.