"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Центр масс — удобная точка, описывающая общее движение системы тел. Его положение зависит от координат и масс всех частей системы, а скорость связана с полным импульсом. Теорема о движении центра масс показывает, что на это движение влияют только внешние силы: внутренние взаимодействия тел не меняют движения центра масс. Поэтому даже сложные столкновения и взрывы можно анализировать, отделяя движение системы целиком от перемещений её частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центр масс — точка, положение которой определяется как среднее положение материальных точек системы с учётом их масс. Для тел массами m₁, m₂, … с радиус-векторами r₁, r₂, … его положение находят как rцм = (m₁r₁ + m₂r₂ + …)/M, где M — масса всей системы. Это позволяет заменить сложную систему одной условной точкой, когда нужно описать её общее движение.
Радиус-вектор центра масс — вектор, задающий положение центра масс относительно выбранного начала координат. Он складывается из радиус-векторов тел, умноженных на их массы, и делится на общую массу системы. Выбор начала координат меняет значения радиус-векторов, но не меняет физическое положение центра масс.
Импульс системы — векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему: p = Σmᵢvᵢ. Здесь mᵢ и vᵢ — масса и скорость отдельного тела, а знак Σ означает сложение по всем телам. Импульс нужен, чтобы связать движение частей системы с движением центра масс.
Теорема о движении центра масс утверждает, что ускорение центра масс определяется равнодействующей внешних сил. Если масса системы равна M, а сумма внешних сил равна Fвнеш, то Maцм = Fвнеш. Теорема позволяет исследовать движение системы целиком, не рассчитывая отдельно каждое внутреннее взаимодействие.
Чтобы найти радиус-вектор центра масс, каждый радиус-вектор умножают на массу соответствующего тела, складывают полученные векторы и делят сумму на общую массу M = Σmᵢ. Такое взвешивание необходимо потому, что тяжёлое тело сильнее влияет на положение центра масс, чем лёгкое. Для двух тел формула имеет вид rцм = (m₁r₁ + m₂r₂)/(m₁ + m₂). Если массы равны, центр масс находится посередине между ними.
Положение тел меняется со временем, поэтому формулу центра масс можно продифференцировать. Массы считаются постоянными, а производная радиус-вектора каждого тела по времени равна его скорости. Получается vцм = (Σmᵢvᵢ)/M, то есть p = Mvцм: в числителе возникает импульс системы, а скорость центра масс равна импульсу, делённому на массу системы. Ещё одно дифференцирование связывает ускорение центра масс с ускорениями тел.
Для каждого тела второй закон Ньютона связывает его импульс с силами, действующими на него. Внутренние силы — это силы взаимодействия тел, принадлежащих одной системе; по третьему закону Ньютона силы взаимодействия каждой пары равны и противоположны. Поэтому при сложении уравнений для всех тел внутренние силы взаимно уничтожаются. В суммарном уравнении остаются только внешние силы, действующие со стороны объектов вне системы.
Равнодействующая внешних сил изменяет суммарный импульс системы: Δp = FвнешΔt для постоянной силы. Так как p = Mvцм, именно эта равнодействующая изменяет скорость центра масс, а значит, задаёт ускорение всего движения системы. Деление уравнения на массу системы приводит к теореме: aцм = Fвнеш/M. Внутренние силы могут сильно изменить скорости отдельных тел, но не создают дополнительного ускорения центра масс.
Если равнодействующая внешних сил равна нулю, ускорение центра масс равно нулю, поэтому его скорость постоянна: центр масс движется равномерно и прямолинейно либо покоится. При постоянной ненулевой внешней силе ускорение также постоянно, и движение центра масс является равноускоренным. Эти выводы относятся к центру масс системы, а не обязательно к каждому её телу. Например, после взрыва осколки разлетаются по-разному, хотя центр масс продолжает двигаться под действием внешних сил.
| Величина или условие | Формула | Физический смысл или следствие |
|---|---|---|
| Радиус-вектор центра масс системы | rцм = Σmᵢrᵢ/M | Масс-взвешенное положение тел; M = Σmᵢ. |
| Импульс системы | p = Σmᵢvᵢ | Векторная сумма импульсов всех тел системы. |
| Скорость центра масс | vцм = p/M | Общее движение системы связано с её импульсом. |
| Ускорение центра масс | aцм = Fвнеш/M | Ускорение задаётся равнодействующей внешних сил. |
| Равнодействующая внешних сил | Fвнеш = ΣFᵢ, внеш | Сумма сил, действующих на систему извне. |
| Замкнутая система | Fвнеш = 0; p = const | Скорость центра масс постоянна. |
| Постоянная внешняя сила | Fвнеш = const; aцм = const | Центр масс движется равноускоренно. |
Сначала определите, о какой системе тел идёт речь, а затем найдите её общую массу и внешние силы. Для положения и скорости используйте массово-взвешенные суммы; при разборе ускорения не включайте внутренние силы. Таблица помогает выбрать формулу по известным величинам и сразу увидеть её физический смысл.
Условие. Два тела массами m₁ = 2 кг и m₂ = 3 кг движутся вдоль оси x. В заданный момент координаты тел равны x₁ = 1 м и x₂ = 5 м, а скорости — v₁ = 4 м/с и v₂ = −1 м/с. Найдём координату и скорость центра масс в этот момент.
Ответ. Координата центра масс равна 3,4 м, скорость — 1 м/с. Координата лежит ближе к более тяжёлому второму телу, а скорость показывает итоговое движение системы с учётом противоположно направленных скоростей.
Условие. Вагоны массами 20 т и 30 т движутся по горизонтальному гладкому пути со скоростями 3 м/с и −1 м/с. После столкновения внешней горизонтальной силой можно пренебречь. Определим скорость центра масс до и после столкновения и проверим, меняется ли она.
Ответ. До и после столкновения центр масс движется со скоростью 0,6 м/с в положительном направлении. Отдельные скорости вагонов могут измениться, но без внешнего горизонтального импульса общее движение системы неизменно.
Условие. В верхней точке траектории снаряд движется горизонтально со скоростью 20 м/с и разрывается на два осколка равной массы. Скорость первого осколка сразу после взрыва равна 10 м/с по направлению исходного движения. Найдём скорость второго осколка и движение центра масс, если сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ. Скорость центра масс в момент взрыва — 20 м/с горизонтально, а горизонтальная составляющая скорости второго осколка — 30 м/с. Для нахождения его полной скорости понадобилась бы вертикальная составляющая скорости первого осколка.
При нахождении равнодействующей иногда складывают внутренние силы, хотя для всей системы они попарно компенсируются. Так ошибаются, перенося второй закон Ньютона для одного тела на систему целиком. Проверьте, принадлежит ли источник силы выбранной системе: в уравнении движения центра масс оставьте только силы извне.
Ещё одна ошибка — усреднять координаты или скорости без учёта масс. Обычное среднее подходит только для равных масс, а в общем случае положение и скорость получают как суммы произведений величин на массы, делённые на M. Самопроверка: если одно тело намного тяжелее другого, центр масс и его скорость должны быть ближе к значениям тяжёлого тела.
Неверный знаменатель появляется, когда вместо общей массы системы используют массу одного тела. Центр масс и его ускорение относятся ко всей системе, поэтому в формулах стоят M = Σmᵢ и aцм = Fвнеш/M. Перед подстановкой выпишите общую массу и убедитесь, что в неё включены все тела системы.
Наконец, нулевое ускорение центра масс иногда принимают за его неподвижность. Но при Fвнеш = 0 сохраняется прежняя скорость, которая может быть ненулевой. Проверьте начальные условия: центр масс покоится только при нулевой начальной скорости, а иначе продолжает двигаться равномерно и прямолинейно.
Для изучения движения центра масс нужны второй и третий законы Ньютона, понятия импульса тела и векторного сложения. Закон сохранения импульса получается как следствие отсутствия внешней равнодействующей для замкнутой системы. Теорема помогает анализировать столкновения, взрывы, реактивное движение и системы из нескольких тел, когда движение каждой части по отдельности сложно описать.
В механике твёрдого тела поступательное движение можно описывать как движение его центра масс. При этом вращение тела рассматривают отдельно: оно меняет положение частей относительно центра масс, но не заменяет описание движения системы целиком. Такое разделение упрощает анализ сложного движения.
Почему внутренние силы не влияют на движение центра масс?
Внутренние силы возникают при взаимодействии тел внутри системы и по третьему закону Ньютона равны по модулю и противоположны по направлению. В сумме они компенсируются, поэтому изменение импульса всей системы определяется только внешними силами.
Может ли центр масс находиться вне самого тела или системы тел?
Да. Например, у однородного кольца центр масс находится в его геометрическом центре, где вещества нет. Для системы раздельных тел центр масс также может оказаться в пустом пространстве между ними.
Чем движение центра масс отличается от движения каждого отдельного тела?
Центр масс описывает общее движение системы, усредняя положения и скорости тел с учётом их масс. Отдельные тела при этом могут двигаться относительно него, сталкиваться или разлетаться, но их внутренние перемещения не меняют уравнение движения центра масс.
Почему при взрыве или столкновении центр масс продолжает двигаться по прежней траектории?
Если за короткое время взаимодействия внешним импульсом можно пренебречь, импульс системы почти не меняется. Поэтому сохраняется скорость центра масс: взрыв или столкновение меняет движения отдельных частей, но не общее движение системы.
Всегда ли центр масс покоится, если сумма внешних сил равна нулю?
Нет. При нулевой равнодействующей ускорение центра масс равно нулю, а его скорость остаётся постоянной. Он покоится только в том случае, если его начальная скорость была нулевой.
§ 7.4. Теорема о движении центра масс
