§ 7.5. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Замкнутая система — это тела, для которых внешними силами можно пренебречь или результирующий импульс этих сил равен нулю. Внутренние силы между телами системы при этом могут быть большими. Такое выделение системы позволяет применять закон сохранения импульса.

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Его направление совпадает с направлением скорости, поэтому в расчётах учитывают знаки проекций. Импульс нужен, чтобы описывать движение тел при взаимодействиях.

Импульс силы — изменение импульса тела под действием силы за определённый промежуток времени: Δp = FΔt, если сила постоянна. При переменной силе используют её среднее значение за время действия. Эта связь помогает описывать короткий удар, когда подробности изменения скорости трудно проследить.

Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы. Она сохраняется, если действуют только консервативные силы, например сила тяжести или упругости. Если есть трение, часть механической энергии переходит во внутреннюю, поэтому её изменение необходимо учитывать.

Как это устроено

Перед вычислениями выделяют тела, которые взаимодействуют, выбирают систему отсчёта и отмечают внешние силы. Это нужно потому, что законы сохранения относятся не к любому отдельному телу, а к системе при определённых условиях. Например, при коротком столкновении горизонтальный импульс внешних сил может быть мал по сравнению с импульсами самих тел. Тогда взаимодействие можно рассматривать как происходящее в замкнутой системе.

Во время взаимодействия силы тел друг на друга могут быть очень велики и сложны для расчёта. Но если система замкнута, эти силы внутренние и не меняют её полный импульс: импульсы отдельных тел перераспределяются, а их сумма остаётся прежней. Поэтому закон сохранения импульса позволяет обойтись без описания каждой силы удара. Нужно лишь записать векторы до и после взаимодействия с учётом направлений.

При неупругом столкновении тела после удара могут двигаться вместе или деформироваться. Часть энергии движения превращается во внутреннюю энергию, тепло и звук, поэтому механическая энергия не сохраняется. Закон сохранения импульса всё ещё применим, если внешний импульс системы пренебрежимо мал. Следовательно, для столкновения нельзя автоматически приравнивать кинетические энергии до и после.

Выбор закона зависит от того, что происходит на рассматриваемом участке. Если требуется связать силу с ускорением, используют второй закон Ньютона; если известны начальное и конечное состояния и потерями можно пренебречь — закон сохранения энергии. Когда трение совершает работу, её учитывают в энергетическом балансе. В сложной задаче законы можно сочетать, применяя каждый к тому этапу, на котором выполнены его условия.

Проверка результата помогает обнаружить ошибки, которые не видны в уравнениях. Размерность должна соответствовать искомой величине: например, скорость измеряется в м/с, а энергия — в джоулях. Знак и направление ответа должны согласовываться с выбранной осью, а предельные случаи — давать разумный результат. Наконец, оцените, может ли такая скорость или потеря энергии получиться в описанной ситуации.

Выбор закона и последовательность решения механических задач

Сначала определите, какое взаимодействие или участок движения описывает условие, а затем проверьте, выполнены ли условия выбранного закона. В таблице перечислены не готовые формулы для любой ситуации, а ориентир: записи нужно дополнить данными конкретной задачи. Если процесс состоит из этапов, для каждого этапа выбирают свой подходящий закон.

Разбор задач

Тележки после неупругого столкновения

Тележка массой m движется со скоростью v и сталкивается с неподвижной тележкой массой M; после удара они движутся вместе. Требуется найти общую скорость и потерю механической энергии. Считаем систему тележек замкнутой вдоль движения, а направление первой тележки — положительным. Поскольку тележки сцепились, после удара их общая масса равна m + M.

1. Запишем импульс до удара: p₁ = mv + M · 0 = mv. После удара импульс равен p₂ = (m + M)u, где u — общая скорость тележек.
2. Применим закон сохранения импульса: mv = (m + M)u. Отсюда u = mv/(m + M); положительный знак означает, что тележки продолжили движение в прежнем направлении.
3. Кинетическая энергия до столкновения равна E₁ = ½mv², а после — E₂ = ½(m + M)u². Подставим найденную скорость: E₂ = m²v²/[2(m + M)].
4. Потеря механической энергии — разность начальной и конечной энергий: ΔE = E₁ − E₂ = mMv²/[2(m + M)]. Она положительна, как и должно быть при неупругом столкновении.

Ответ: u = mv/(m + M); потеря механической энергии ΔE = mMv²/[2(m + M)]. Если масса второй тележки велика, общая скорость меньше начальной скорости первой тележки. Это согласуется с тем, что неподвижная тележка увеличивает массу движущейся системы.

Тело скользит по наклонной плоскости

Тело соскальзывает без начальной скорости с наклонной плоскости высотой h; угол наклона равен α, коэффициент трения — μ. Нужно найти скорость у основания. Выберем начальную потенциальную энергию равной нулю не требуется: удобнее считать её относительно основания, тогда сверху она равна mgh. Трение совершает отрицательную работу, поэтому механическая энергия тела не сохраняется сама по себе.

1. Свяжем длину наклонного пути s с высотой: h = s sin α, значит, s = h/sin α. Это геометрическое соотношение нужно, чтобы выразить работу трения через заданную высоту.
2. Сила трения равна Fтр = μN = μmg cos α. Её работа на спуске отрицательна: Aтр = −Fтрs = −μmgh cos α/sin α.
3. Запишем баланс: начальная кинетическая энергия плюс начальная потенциальная энергия и работа трения равны конечной энергии у основания. Получаем mgh + Aтр = ½mv², так как внизу потенциальная энергия принята за ноль.
4. Подставим работу и сократим массу: v = √[2gh(1 − μ ctg α)]. Ответ имеет смысл, если выражение под корнем неотрицательно: иначе тело не сможет соскользнуть до основания при указанных условиях.

Ответ: v = √[2gh(1 − μ ctg α)]. Проверка показывает, что при μ = 0 формула превращается в v = √(2gh), как для свободного падения без потерь. Трение уменьшает скорость, а масса тела сокращается из-за одинаковой зависимости энергии и работы трения от массы.

Разрыв снаряда в верхней точке

Снаряд в верхней точке траектории разрывается на два осколка; известны масса снаряда m, скорости центра масс до взрыва v₀ и первого осколка v₁, а также массы осколков m₁ и m₂. Найдём скорость второго осколка, затем его дальность полёта. За короткое время взрыва внешним импульсом пренебрегаем. После взрыва каждый осколок движется уже под действием силы тяжести.

1. Выберем оси: x горизонтально по направлению полёта, y вертикально вверх. В верхней точке скорость снаряда горизонтальна, поэтому импульс до взрыва равен m v₀ по оси x и нулю по оси y.
2. Запишем сохранение импульса по компонентам: m v₀ = m₁v₁ₓ + m₂v₂ₓ и 0 = m₁v₁ᵧ + m₂v₂ᵧ. Отсюда v₂ₓ = (m v₀ − m₁v₁ₓ)/m₂, а v₂ᵧ = −m₁v₁ᵧ/m₂.
3. Определим высоту H верхней точки и время падения второго осколка. Если снаряд выстрелен с земли со скоростью v₀ под углом θ, то H = v₀²sin²θ/(2g). Вертикальное движение осколка описывает уравнение 0 = H + v₂ᵧt − ½gt²; берём его положительный корень.
4. Горизонтальная координата второго осколка к моменту падения равна x = x₀ + v₂ₓt, где x₀ — координата точки взрыва. Так находится его дальность относительно выбранного начала отсчёта; если нужна дальность от места выстрела, учитывают также x₀.

Ответ задаётся формулами для v₂ₓ и v₂ᵧ, а затем для времени t и координаты x. Численно найти дальность без значений масс, скоростей и угла нельзя. Если осколок получает скорость вверх, уравнение времени учитывает дополнительный подъём; при скорости вниз он падает быстрее.

Типичные ошибки

• Сохраняют импульс одного тела, забывая включить в систему второе тело, с которым оно взаимодействует. Так происходит, когда систему не обозначили до записи уравнения; внутренний импульс может изменить импульс отдельного тела, но не всей замкнутой системы. Проверьте, что слева и справа сложены импульсы всех тел выбранной системы.

• Складывают импульсы как обычные числа и не учитывают противоположные направления скоростей. Ошибка возникает, если не выбрана ось или все скорости записаны положительными. Назначьте положительное направление и ставьте минус у проекций, направленных против него.

• При неупругом столкновении приравнивают кинетические энергии до и после удара. Это неверно, потому что деформация, нагрев и звук уносят часть механической энергии во внутреннюю; однако импульс замкнутой системы сохраняется. Проверьте, сцепляются ли тела или меняют форму: в таком случае отдельно вычислите потерю энергии.

• Подставляют путь, высоту или скорость, не проверяя геометрию и этап движения. Например, длина наклонной плоскости не равна её высоте, а скорость после столкновения нельзя использовать для описания движения до него. Сверьте величины с рисунком, единицами измерения и выбранным этапом; после вычисления оцените физический смысл ответа.

Связь с другими темами

Для решения таких задач нужны законы Ньютона, кинематические уравнения, понятия импульса, работы силы и кинетической энергии. Эти инструменты встречаются в задачах на столкновения и отдачу, движение по наклонной плоскости и действие нескольких сил. Умение делить процесс на этапы пригодится при изучении колебаний, движения в поле тяготения и более сложных комбинированных задач.

Что запомнить

• Сначала выделяют систему тел и выбирают удобную систему отсчёта.
• Импульс — векторная величина, поэтому направления входят в уравнение со знаками.
• Для замкнутой системы полный импульс сохраняется.
• Механическая энергия сохраняется только при отсутствии потерь на неконсервативные силы.
• При неупругом столкновении импульс сохраняется, а механическая энергия уменьшается.
• Сложную задачу разбивают на этапы и для каждого выбирают подходящий закон.
• Полученный ответ проверяют по размерности и физическому смыслу.