§ 7.6. Другая форма уравнения движения материальной точки по окружности

Определения и обозначения

Уравнение движения по окружности — зависимость координат материальной точки от времени, задающая её положение в каждый момент. Например, зная время t, по уравнениям можно найти координаты x и y. Это отличает описание движения от простой записи формы окружности.

Угловая координата φ — угол поворота радиус-вектора относительно выбранного начального направления. Радиус-вектор соединяет центр окружности с точкой, поэтому его направление однозначно указывает положение точки. Угол удобен тем, что для окружности одного радиуса достаточно следить за поворотом, а не каждый раз измерять пройденный путь.

Начальная фаза φ₀ — угловая координата точки при t = 0. Она показывает, откуда начинается отсчёт движения, и определяет начальные координаты. Без неё одной угловой скорости недостаточно, чтобы установить исходное положение точки.

Фаза φ — величина, определяющая текущее положение точки на окружности: это сумма начальной фазы и угла поворота после начала наблюдения. При постоянной угловой скорости φ = φ₀ + ωt. Фаза связывает момент времени с положением точки и входит в формулы для её координат.

Как это устроено

Пройденный путь сообщает, насколько далеко точка переместилась вдоль окружности, но сам по себе не всегда показывает её положение: путь может отсчитываться от разных начальных точек. Угол поворота радиус-вектора сразу задаёт направление на движущуюся точку относительно центра. Поэтому угловая координата естественна для окружности, а длину дуги при необходимости находят по формуле s = Rφ, если угол задан в радианах.

При равномерном движении за равные промежутки времени радиус-вектор поворачивается на равные углы. Угловая скорость ω показывает, на какой угол он поворачивается за единицу времени, поэтому за время t угол поворота равен ωt. Добавляя этот угол к исходному положению, получаем фазу φ = φ₀ + ωt; отрицательная ω означает поворот в противоположном выбранному положительном направлении.

Радиус-вектор длины R и его проекции на оси координат образуют прямоугольный треугольник. По определениям синуса и косинуса проекции равны x = R cos φ и y = R sin φ, если начало координат находится в центре окружности. Подстановка зависимости фазы от времени даёт x = R cos(φ₀ + ωt) и y = R sin(φ₀ + ωt). Значит, каждая координата меняется периодически, а её наибольшее по модулю значение равно R.

Одного уравнения недостаточно, потому что на плоскости положение точки задаётся парой чисел (x, y). Уравнение для x сообщает только положение проекции на горизонтальную ось: одному значению x на окружности обычно соответствуют две точки с разными y. Второе уравнение вместе с первым определяет обе координаты и тем самым конкретное положение точки в данный момент.

Чтобы получить траекторию, нужно убрать из уравнений время. Возводим x = R cos φ и y = R sin φ в квадрат и складываем: x² + y² = R²(cos² φ + sin² φ). Поскольку cos² φ + sin² φ = 1, выходит x² + y² = R². Время исчезло, поэтому это уравнение показывает все точки окружности, но не порядок и не темп их прохождения.

Величины и формы уравнения движения по окружности

Сначала выбери строку, соответствующую известной величине, затем подставь данные в формулы для фазы и координат. Обрати внимание: уравнения x(t) и y(t) содержат время, а уравнение траектории — нет. Если окружность смещена относительно начала координат, в формулах координат учитывают координаты её центра.

Разбор задач

1. Записать координаты по известным параметрам

Точка движется по окружности радиусом 0,4 м с угловой скоростью 2 рад/с, начальная фаза равна нулю. Найдём уравнения координат, считая центр окружности началом координат. Здесь ω положительна, поэтому вращение идёт в выбранном положительном направлении.

1. Записываем фазу: φ = φ₀ + ωt = 0 + 2t.
2. Подставляем её и радиус в общие формулы: x = R cos φ, y = R sin φ.
3. Получаем зависимости x = 0,4 cos 2t и y = 0,4 sin 2t. В аргументе тригонометрических функций время выражено в секундах, а фаза — в радианах.

Ответ: x = 0,4 cos 2t м, y = 0,4 sin 2t м.

2. Найти параметры по уравнениям

Даны x = 3 cos(4t + π/6) и y = 3 sin(4t + π/6). Сопоставим их с общей формой: x = R cos(φ₀ + ωt), y = R sin(φ₀ + ωt). Одинаковый аргумент в обоих уравнениях подтверждает, что координаты описывают одно и то же вращение.

1. Множитель перед синусом и косинусом равен радиусу, поэтому R = 3 м.
2. Постоянная часть аргумента — начальная фаза: φ₀ = π/6 рад.
3. Коэффициент при t — угловая скорость: ω = 4 рад/с.

Ответ: радиус окружности 3 м, начальная фаза π/6 рад, угловая скорость 4 рад/с.

3. Проверить, хватает ли данных

Радиус равен 2 м, при t = 0 координата x = 1 м, а точка движется в направлении возрастания y. Требуется записать уравнения и найти координаты через π/4 с. Начальной координаты y и значения угловой скорости в условии нет, поэтому проверим, можно ли определить их однозначно.

1. Из x₀ = R cos φ₀ получаем cos φ₀ = 1/2. Возможны фазы π/3 и 5π/3 (с точностью до 2π).
2. Скорость по оси y равна vy = Rω cos φ₀. Условие возрастания y означает vy > 0, следовательно, при cos φ₀ = 1/2 угловая скорость должна быть положительной. Но оно не выбирает между двумя возможными начальными фазами.
3. Общий вид уравнений: x = 2 cos(φ₀ + ωt), y = 2 sin(φ₀ + ωt), где φ₀ = π/3 или 5π/3, ω > 0. Для вычисления координат через π/4 с необходимо дополнительно знать ω; без него единственного численного ответа нет.

Ответ: исходных данных недостаточно для единственного решения; нужны начальная координата y и модуль угловой скорости.

Типичные ошибки

Начальную фазу принимают за фазу в любой момент времени и забывают слагаемое ωt. Так происходит, когда обозначение φ₀ воспринимают просто как название угла, а не как его значение при t = 0. Проверь себя: при подстановке нуля в формулу фазы должно получаться φ(0) = φ₀.

Синус и косинус меняют местами, но начальную фазу оставляют прежней. Тогда начальные координаты могут измениться, потому что синус и косинус одной и той же фазы вообще не равны. Подставь t = 0 и сравни найденные x₀ и y₀ с условием; если они не совпали, запись неверна.

Считают, что знак угловой скорости не влияет на движение, поскольку радиус и периодичность остаются прежними. Но знак определяет, увеличивается или уменьшается фаза, то есть в какую сторону точка проходит окружность. Проверка — посмотреть на знак производной y: vy = Rω cos φ; он должен соответствовать заданному направлению движения.

Уравнение x² + y² = R² используют вместо уравнений движения. Их путают, потому что обе записи описывают одну окружность, но в первой нет времени и неизвестно, где точка находится в заданный момент. Проверь запись: для нахождения координат через время в ней должны присутствовать t и параметры движения.

Связь с другими темами

Для записи движения нужны радиус-вектор, угловая координата и угловая скорость; углы выражают в радианах, а координаты связывают с углом через синус и косинус. Уравнения движения позволяют находить положение точки, а из изменения координат по времени можно получить её скорость и ускорение. Позже эти же зависимости помогут понять гармонические колебания: их можно представить как проекции равномерного движения по окружности на ось.

Что запомнить

• Фаза равна сумме начальной фазы и угла поворота.
• При равномерном движении по окружности фаза линейно зависит от времени.
• Координаты точки задаются синусом и косинусом фазы.
• Амплитуда изменений координат равна радиусу окружности.
• Уравнения координат содержат время и описывают движение, а уравнение окружности описывает только траекторию.
• Знак угловой скорости определяет направление движения по окружности.