§ 7.9. Закон сохранения момента импульса

Определения и обозначения

Момент импульса материальной точки — векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора на импульс: L = r × p. Здесь r задаёт положение тела относительно выбранной точки, а p = mv — его импульс. Величина нужна, чтобы описывать не только быстроту движения, но и способность тела вращаться вокруг этой точки.

Момент импульса системы — векторная сумма моментов импульса всех материальных точек системы: L = L₁ + L₂ + … . Системой можно считать, например, фигуриста вместе с его руками или платформу с человеком. Такое сложение позволяет изучать движение целого объекта, а не каждой части отдельно.

Внешний момент сил — суммарный момент сил, действующих на систему со стороны тел, которые в неё не входят. Он показывает, насколько внешнее воздействие способно изменить вращательное движение системы. Момент силы относительно точки вычисляют как M = r × F.

Закон сохранения момента импульса утверждает: если суммарный внешний момент сил равен нулю, момент импульса замкнутой системы сохраняется. Иными словами, в выбранной системе может перераспределяться движение между частями, но общий момент импульса остаётся прежним. Это записывают так: L = const.

Как это устроено

Момент импульса зависит от положения тела, потому что одна и та же сила движения по-разному действует при разных расстояниях от точки отсчёта. Чем больше радиус-вектор r и импульс p, тем обычно больше L. Если тело движется прямо к выбранной точке, векторы r и p параллельны, поэтому их векторное произведение равно нулю: вращательного эффекта нет.

Из второго закона Ньютона mа = F можно получить уравнение для момента импульса. Для точки L = r × p, поэтому при дифференцировании по времени получаем dL/dt = v × p + r × dp/dt. Первый член равен нулю, так как v и p направлены одинаково, а второй превращается в r × F = M; значит, dL/dt = M.

В системе тел силы бывают внутренними и внешними. Внутренние силы действуют между частями самой системы: по третьему закону Ньютона они равны по модулю и противоположны по направлению, а при попарном учёте их моменты взаимно уничтожаются. Поэтому изменение полного момента импульса определяется только внешним моментом сил.

Момент импульса сохраняется не при любом отсутствии силы, а при нулевом результирующем внешнем моменте относительно выбранной точки или оси. Отдельные внешние силы могут действовать, но их моменты способны компенсировать друг друга. Условие записывают так: Mвнеш = 0, тогда dL/dt = 0 и L = const.

При вращении вокруг неподвижной оси L = Iω. Если человек или часть системы приближается к оси, момент инерции I уменьшается, а при сохранении L угловая скорость ω должна увеличиться. Поэтому фигурист ускоряет вращение, когда прижимает руки, а платформа меняет скорость, когда человек перемещается по ней.

Момент импульса и условия его сохранения

Таблицу удобно применять к задачам, где все части системы вращаются вокруг одной неподвижной оси. Сначала проверьте, что внешний момент относительно этой оси равен нулю, затем сравните начальное и конечное произведения Iω. Если момент инерции изменился, по сохранению L можно найти новую угловую скорость.

Разбор задач

Планета и центральная сила

Условие. Планета движется по орбите под действием силы тяготения Солнца. Нужно объяснить, почему её момент импульса относительно Солнца сохраняется.

1. Выберем центр Солнца за точку отсчёта и запишем момент силы: M = r × F.
2. Сила тяготения направлена вдоль линии, соединяющей Солнце и планету, то есть вдоль радиус-вектора r. Угол между r и F равен нулю, поэтому M = rF sin 0° = 0.
3. Так как внешний момент равен нулю, из уравнения dL/dt = M следует dL/dt = 0.

Ответ: момент импульса планеты относительно Солнца сохраняется, потому что центральная сила тяготения имеет нулевой момент относительно центра.

Фигурист

Условие. Фигурист вращается с угловой скоростью ω₁ и прижимает руки, уменьшая момент инерции с I₁ до I₂. Найдём новую угловую скорость.

1. Считаем фигуриста замкнутой системой: внешним моментом можно пренебречь, поэтому I₁ω₁ = I₂ω₂.
2. Выразим неизвестную величину: ω₂ = I₁ω₁/I₂.
3. При I₂ < I₁ отношение I₁/I₂ больше единицы, значит, ω₂ > ω₁.

Ответ: новая угловая скорость равна ω₂ = I₁ω₁/I₂ и больше начальной.

Человек на платформе

Условие. Человек массой m стоит на расстоянии R от оси платформы с моментом инерции I и перемещается к центру на расстояние r. Проскальзывания нет, поэтому система вращается с общей угловой скоростью.

1. До перемещения общий момент инерции равен I₁ = I + mR², а после перемещения — I₂ = I + mr².
2. Для системы «платформа и человек» внешний момент равен нулю, поэтому I₁ω₁ = I₂ω₂.
3. Получаем ω₂ = (I + mR²)ω₁/(I + mr²). Изменение угловой скорости: Δω = ω₂ − ω₁.

Ответ: ω₂ = ((I + mR²)/(I + mr²))ω₁. Так как r < R, момент инерции уменьшается, а угловая скорость увеличивается.

Типичные ошибки

Считать, что момент импульса сохраняется всегда. Закон требует нулевого результирующего внешнего момента, а не просто наличия движения. Проверьте условие Mвнеш = 0 относительно выбранной точки или оси.

Путать момент импульса с импульсом тела. В формуле p = mv нет радиус-вектора, а в L = r × p он обязателен. Проверьте, указана ли точка или ось, относительно которой рассматривается вращение.

Неверно выбирать систему. Сила между частями выбранной системы является внутренней, а сила со стороны тела вне системы — внешней. Нарисуйте границу системы и классифицируйте силы до применения закона.

Записывать Iω = const в любой ситуации. Эта форма относится к вращению вокруг фиксированной оси и требует нулевого внешнего момента относительно неё. Если ось меняется или внешний момент ненулевой, используйте общее уравнение dL/dt = M.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны импульс тела, момент силы, второй закон Ньютона, векторное произведение и момент инерции. Закон помогает анализировать движение небесных тел, спутников и систем под действием центральных сил. Позже он используется в динамике вращательного движения, задачах о столкновениях и механике твёрдого тела.

Что запомнить

• Момент импульса материальной точки определяется относительно выбранной точки или оси.
• Для материальной точки L = r × p.
• Скорость изменения момента импульса равна суммарному внешнему моменту сил.
• Если суммарный внешний момент сил равен нулю, момент импульса сохраняется.
• Внутренние силы не изменяют полный момент импульса замкнутой системы.
• Для вращения вокруг неподвижной оси L = Iω.
• При сохранении момента импульса уменьшение момента инерции приводит к увеличению угловой скорости.