"Физика (углублённый уровень)", Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик Э.Е. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
Момент импульса описывает вращательное движение тела так же, как импульс — поступательное. Он зависит от массы, скорости и расстояния до выбранной точки или оси. Если суммарный момент внешних сил равен нулю, полный момент импульса системы не меняется. Поэтому фигурист, прижимая руки, вращается быстрее, а при столкновениях можно находить угловую скорость даже тогда, когда механическая энергия не сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Момент импульса материальной точки — векторная величина L = r × p, где r — радиус-вектор точки относительно выбранного начала, а p — её импульс. Модуль равен L = rp sin α. Вектор L перпендикулярен плоскости, образованной r и p, а его направление находят по правилу правого винта; величина нужна для описания вращательного движения.
Момент силы — мера её вращательного действия относительно точки или оси. По модулю M = Fd, где F — сила, а d — плечо, то есть кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы. Чем больше сила или плечо, тем сильнее сила стремится повернуть тело.
Замкнутая система — система тел, для которой суммарный момент внешних сил относительно выбранной точки или оси равен нулю. Внутри системы тела могут взаимодействовать и обмениваться моментом импульса. Такое описание позволяет рассматривать систему как единое целое.
Закон сохранения момента импульса утверждает: если суммарный внешний момент равен нулю, полный момент импульса системы сохраняется. Это означает, что в начальном и конечном состояниях векторная сумма моментов импульса одинакова. Закон особенно полезен при быстрых взаимодействиях и изменении распределения массы.
Для материальной точки второй закон Ньютона можно записать как F = dp/dt. Умножим обе части векторно на радиус-вектор r: r × F = r × dp/dt. Левая часть есть момент силы M, а правая при неподвижном начале отсчёта превращается в производную момента импульса, поэтому Mвнеш = dL/dt.
В системе тел силы взаимодействия называют внутренними. Для пары тел внутренняя сила одного тела направлена противоположно силе другого, а её линия действия обычно одна и та же. Поэтому моменты внутренних сил взаимно компенсируются в сумме, и изменить полный момент импульса может только нескомпенсированный внешний момент.
Если суммарный внешний момент равен нулю, из уравнения dL/dt = 0 следует, что L не изменяется со временем. Начальное и конечное значения полного момента импульса равны, хотя отдельные тела системы могут менять скорости и направления движения. Происходит внутреннее перераспределение момента между частями системы.
Для вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси используют связь L = Iω. Если внешнего момента нет, I₁ω₁ = I₂ω₂. Когда масса приближается к оси, момент инерции уменьшается, поэтому угловая скорость возрастает: произведение двух величин должно остаться прежним.
Сохранение момента импульса не является сохранением механической энергии. При деформации, трении или неупругом столкновении часть кинетической энергии превращается во внутреннюю энергию и звук. Поэтому в задаче можно сохранять момент импульса, но отдельно проверять, допустимо ли сохранять кинетическую энергию.
В таблице сначала найдите, о какой величине или ситуации говорится, затем выберите подходящую формулу. Последний столбец помогает проверить направление векторной величины и единицы измерения. Для системы тел особенно важно использовать одну и ту же точку или ось отсчёта.
| Ситуация или величина | Формула или условие | Физический смысл | Направление или единица измерения |
|---|---|---|---|
| Момент импульса материальной точки | L = r × p; L = rp sin α | Характеризует вращательное движение точки | Перпендикулярно плоскости r и p; кг·м²/с |
| Момент импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси | L = Iω | Зависит от момента инерции и угловой скорости | Вдоль оси вращения; кг·м²/с |
| Момент внешней силы | M = r × F; M = Fd | Показывает вращательное действие силы | Перпендикулярно плоскости r и F; Н·м |
| Изменение момента импульса | Mвнеш = dL/dt | Внешний момент изменяет L | Направление изменения L; Н·м |
| Условие сохранения момента импульса | ΣMвнеш = 0; L = const | Полный момент импульса системы постоянен | Векторное равенство; кг·м²/с |
| Сохранение момента импульса при изменении момента инерции | I₁ω₁ = I₂ω₂ | Изменение I вызывает обратное изменение ω | Для одной неподвижной оси; кг·м²/с |
Платформа имела момент инерции I₁ и угловую скорость ω₁. После перемещения груза момент инерции стал I₂. Нужно найти новую угловую скорость.
Ответ: ω₂ = I₁ω₁/I₂. Угловая скорость изменяется обратно пропорционально моменту инерции.
Человек массой m переходит от расстояния r₁ до расстояния r₂ от оси. Момент инерции платформы равен Iп, начальная угловая скорость — ω₁. Найдём конечную скорость платформы вместе с человеком.
Ответ: ω₂ = (Iп + mr₁²)ω₁/(Iп + mr₂²). При движении к оси r₂ < r₁, поэтому система вращается быстрее.
Пуля массой m летит со скоростью v на расстоянии b от оси и застревает в краю диска с моментом инерции I. Найдём угловую скорость ω после удара, считая радиус диска R и пренебрегая начальным вращением.
Ответ: ω = mvb/(I + mR²). Удар неупругий, поэтому кинетическая энергия после столкновения меньше начальной, хотя момент импульса сохраняется.
Сохраняют момент импульса без проверки внешнего момента. Закон применим только при ΣMвнеш = 0 относительно выбранной точки или оси; перед решением выпишите внешние силы и их моменты.
Используют линейный импульс вместо момента импульса или пишут L = mv. Такая запись не учитывает плечо и направление движения; проверьте, есть ли в формуле расстояние r и векторное произведение.
Путают момент инерции с массой. Одинаковая масса может давать разный результат при разном расстоянии до оси, поэтому учитывайте распределение массы и проверяйте размерность I в кг·м².
Автоматически считают сохранённой кинетическую энергию. При неупругом взаимодействии часть энергии уходит на деформацию и нагрев; сначала определите тип столкновения, а затем отдельно выберите закон для энергии.
Для понимания темы нужны импульс тела, второй закон Ньютона, векторное произведение, момент силы и момент инерции. Закон сохранения момента импульса связывает поступательное и вращательное описание движения.
Он подготавливает изучение вращения твёрдого тела, динамики гироскопов и движения небесных тел. На практике закон используют для анализа платформ, вращения фигуристов, манёвров космических аппаратов и столкновений вращающихся тел.
Что именно должно быть равно нулю, чтобы момент импульса сохранялся?
Нулю должен быть равен суммарный момент внешних сил относительно выбранной точки или оси. Сами внешние силы могут существовать, но их вращательное действие должно взаимно компенсироваться.
Относительно какой точки или оси нужно вычислять момент импульса?
Точку или ось выбирают так, чтобы удобно описать движение и внешние силы. Закон применяют относительно одной и той же точки или оси на всём протяжении рассматриваемого процесса.
Почему фигурист ускоряет вращение, прижимая руки к телу?
Прижимая руки, фигурист уменьшает момент инерции тела. При сохранении момента импульса произведение Iω остаётся постоянным, поэтому угловая скорость увеличивается.
Можно ли применять закон сохранения момента импульса при столкновении тел?
Можно, если во время столкновения суммарный внешний момент относительно выбранной оси равен нулю или им можно пренебречь. Это часто выполняется при кратковременном ударе о вращающуюся платформу.
Почему при сохранении момента импульса кинетическая энергия может уменьшаться?
При неупругом взаимодействии часть кинетической энергии переходит во внутреннюю: нагрев, деформацию, звук. Момент импульса при этом может сохраниться, поскольку он определяется внешним моментом, а не только энергией.
§ 9. Закон сохранения момента импульса
