"Физика (углублённый уровень)", Кабардин О.Ф., Орлов В.А., Эвенчик Э.Е. и др. / Под ред. Пинского А.А., Кабардина О.Ф.
Импульс показывает, насколько трудно изменить движение тела: он зависит и от массы, и от скорости. Это векторная величина, поэтому при расчётах учитывают направление движения. Если внешние силы не действуют или их общий импульс равен нулю, полный импульс системы сохраняется. Закон помогает находить скорости тел после столкновений, взрывов и отдачи, когда силы взаимодействия велики, а действуют недолго.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Буквой p обозначают импульс, а его направление совпадает с направлением скорости. Масса показывает, насколько тело инертно, поэтому одной скорости недостаточно, чтобы сравнить движение лёгкого и тяжёлого тела.
Импульс силы — векторная величина, равная произведению силы на время её действия, если сила постоянна. Его обозначают FΔt; он показывает, как изменился импульс тела: Δp = FΔt. Это соотношение позволяет связать действие силы с результатом, даже если сила действовала очень короткое время.
Замкнутая система — система тел, на которую внешние силы не действуют или суммарный импульс этих сил за рассматриваемое время равен нулю. Внутренние силы могут быть большими, но они возникают при взаимодействии тел самой системы. Такое условие позволяет применить закон сохранения импульса.
Закон сохранения импульса утверждает: в замкнутой системе векторная сумма импульсов тел не изменяется. Значит, импульс может переходить от одного тела к другому, но общий импульс системы остаётся прежним. Закон используют, чтобы сравнить движение тел до взаимодействия и после него.
Импульс является вектором, потому что скорость имеет и величину, и направление, а масса — скалярная величина. При умножении вектора скорости на положительное число m направление не меняется, поэтому p направлен так же, как v. Из-за этого два одинаковых по модулю импульса, направленных навстречу друг другу, при сложении могут взаимно компенсироваться.
Второй закон Ньютона связывает ускорение тела с действующей силой: F = ma. Если масса постоянна, то a = Δv/Δt, и после подстановки получается FΔt = mΔv = Δp. Следовательно, сила сообщает телу импульс, равный изменению его импульса; чем дольше действует сила, тем больше может быть это изменение.
При взаимодействии двух тел силы направлены противоположно и равны по модулю согласно третьему закону Ньютона. За одно и то же время их импульсы сил также противоположны: изменения импульсов тел компенсируются. Поэтому импульсы отдельных тел меняются, но их сумма остаётся прежней, если внешний импульс отсутствует.
Для двух тел закон записывают как m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′, где штрихом отмечены скорости после взаимодействия. Для нескольких тел складывают импульсы всех тел: Σp до = Σp после. Это векторное равенство; в задаче с движением по прямой выбирают положительное направление, а скорости навстречу ему записывают со знаком минус.
При ударе или взрыве силы взаимодействия тел могут быть очень велики, но обычно действуют недолго. За это короткое время импульс внешних сил, например силы тяжести, часто намного меньше импульса внутренних сил. Тогда внешним воздействием можно пренебречь и считать систему замкнутой, что делает закон сохранения импульса удобным для расчёта.
| Величина или условие | Обозначение | Формула | Направление или смысл | Единица измерения |
|---|---|---|---|---|
| Импульс тела | p | p = mv | Направлен как скорость тела | кг·м/с |
| Импульс силы | FΔt | FΔt = Δp | Равен изменению импульса | Н·с |
| Импульс замкнутой системы | P | P = Σpᵢ | Векторная сумма импульсов тел | кг·м/с |
| Условие сохранения импульса | Σp внеш | Σp внеш = 0 | Внешний импульс равен нулю | Н·с |
| Закон сохранения импульса для двух тел | p₁, p₂ | m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′ | Векторная сумма до и после взаимодействия одинакова | кг·м/с |
Сначала определите, какие тела входят в систему и можно ли считать её замкнутой. Затем запишите равенство импульсов до и после взаимодействия, учитывая направления векторов. Для движения вдоль одной прямой достаточно проекций на ось со знаками скоростей.
Тележка массой 2 кг движется со скоростью 3 м/с. Требуется найти её импульс и направление вектора. Здесь известны оба множителя в формуле импульса, а направление можно определить по заданному направлению движения тележки.
Ответ: 6 кг·м/с, по направлению движения тележки.
Тележка массой 1 кг движется со скоростью 4 м/с и сталкивается с неподвижной тележкой массой 3 кг. После удара они движутся вместе. Нужно найти общую скорость; внешним воздействием во время удара пренебрегаем, поэтому применяем закон сохранения импульса.
Ответ: тележки движутся вместе со скоростью 1 м/с в первоначальном направлении первой тележки.
Снаряд движется горизонтально и разрывается на два осколка. Известны массы осколков m₁ и m₂ и их скорости после взрыва; требуется найти скорость снаряда до взрыва либо скорость одного осколка. Взрыв кратковременный, поэтому систему «снаряд и осколки» можно считать замкнутой, если внешним импульсом пренебречь.
Ответ выражается выбранной формулой после подстановки данных. Знак результата показывает направление скорости относительно оси.
Первая ошибка — складывать модули импульсов, не проверяя направления. Так поступают, когда величины кажутся положительными, но векторы могут быть противоположны; в этом случае сумма модулей неверна. Выберите ось и проверьте, совпадают ли направления всех скоростей: складывать модули можно только при движении вдоль одной прямой в одну сторону.
Вторая ошибка — записать закон сохранения импульса для одного тела. Его импульс меняется под действием сил, поэтому сохраняется не обязательно; закон относится к замкнутой системе. Перед вычислениями перечислите входящие в систему тела и проверьте, что внешний импульс равен нулю или им можно пренебречь.
Третья ошибка — не поставить знак минус скорости, направленной против выбранной оси. Обычно это происходит, если подставлять все скорости как положительные числа. Самопроверка: нарисуйте направления до и после взаимодействия и сверьте знаки проекций с рисунком или словесным описанием.
Четвёртая ошибка — путать импульс тела с импульсом силы. Названия похожи, но p = mv характеризует движение, а FΔt равно изменению импульса и зависит от времени действия силы. Проверьте смысл и единицы: у обоих величин единица кг·м/с, но только импульс тела вычисляется по массе и скорости.
Для понимания закона нужны второй и третий законы Ньютона, а также понятия массы, скорости и силы. Нужно уметь складывать векторы и находить их проекции на оси, иначе легко ошибиться с направлением импульса. Эти знания применяются в задачах о столкновениях, отдаче и взрывах, где сравнивают движение до и после взаимодействия. Закон также помогает объяснить реактивное движение: ракета получает импульс в сторону, противоположную выбрасываемым газам.
Почему импульс тела зависит не только от скорости, но и от массы?
Импульс равен произведению массы на скорость: p = mv. При одинаковой скорости более массивному телу труднее изменить движение, поэтому его импульс больше.
В каких случаях систему можно считать замкнутой?
Когда внешние силы отсутствуют или их суммарный импульс за рассматриваемое время равен нулю. Например, при очень коротком ударе внешним воздействием иногда можно пренебречь по сравнению с силами взаимодействия тел.
Почему при столкновении импульсы тел изменяются, а общий импульс сохраняется?
Тела действуют друг на друга силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Поэтому изменения их импульсов взаимно компенсируются, если система замкнута.
Нужно ли учитывать силу тяжести при применении закона сохранения импульса?
Это зависит от выбранной системы и длительности процесса. При кратком столкновении импульс силы тяжести часто мал по сравнению с импульсом сил удара, поэтому его можно не учитывать; в других случаях нужно проверить внешние силы.
Чем импульс тела отличается от импульса силы?
Импульс тела — это p = mv, величина, характеризующая движение тела. Импульс силы равен произведению силы на время её действия и показывает, на сколько изменился импульс тела.
§ 8. Закон сохранения импульса
