§ 7. Условия равновесия тел

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно. Ускорение тела при этом равно нулю, поэтому его скорость не изменяется. Понятие нужно, чтобы определить, какие силы уравновешивают друг друга.

Момент силы относительно точки — физическая величина, характеризующая вращательное действие силы: M = F·l. Здесь F — модуль силы, а l — её плечо. Момент позволяет сравнивать действие сил, приложенных на разных расстояниях от оси.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от точки вращения до линии действия силы. Это расстояние всегда проводят перпендикулярно линии действия силы. Именно плечо, а не просто длина детали, определяет, насколько эффективно сила поворачивает тело.

Условия равновесия — равенство нулю равнодействующей сил и суммы моментов сил относительно любой точки. Первое условие отвечает за отсутствие поступательного ускорения, второе — за отсутствие вращения. Только их совместное выполнение даёт полное равновесие твёрдого тела.

Как это устроено

Если тело покоится или движется равномерно, его ускорение равно нулю. По второму закону Ньютона сумма всех действующих сил равна произведению массы на ускорение, поэтому при a = 0 получается векторное равенство ΣF = 0. Если силы не уравновешены, возникает ускорение и состояние равновесия нарушается.

Сложные силы удобно разложить на составляющие вдоль выбранных осей. Тогда вместо одного векторного равенства записывают отдельные условия, например ΣFₓ = 0 и ΣFᵧ = 0. Такой способ показывает, что тело не получает ускорения ни в горизонтальном, ни в вертикальном направлении.

Однако нулевая равнодействующая ещё не гарантирует равновесие твёрдого тела. Две равные противоположно направленные силы, приложенные по разным линиям действия, могут не перемещать тело, но поворачивать его; это называют парой сил. Значит, нужно отдельно проверить вращательное действие всех сил.

Момент силы возникает потому, что сила приложена на некотором расстоянии от точки вращения. Его модуль вычисляют по формуле M = F·l, где l — перпендикулярное плечо. Выбирают положительное направление вращения, например против часовой стрелки, и моменты, вращающие тело в этом направлении, считают положительными, а противоположные — отрицательными.

В равновесии вращательные действия сил компенсируют друг друга, поэтому ΣM = 0. Это означает, что сумма моментов, стремящихся повернуть тело в одну сторону, равна сумме моментов, стремящихся повернуть его в другую. Вместе с условием ΣF = 0 это исключает и поступательное, и вращательное движение.

Условия равновесия твёрдого тела

Сначала определите, нужно ли проверить только силы или также вращение твёрдого тела. Затем изобразите все силы и запишите уравнения по выбранным направлениям и для моментов. Таблица помогает понять, какое движение проверяет каждое условие и какие величины можно найти.

Разбор задач

1. Натяжение нити

На тело действуют сила тяжести 20 Н вниз и вертикальная сила натяжения вверх. Тело находится в равновесии, поэтому ускорение по вертикали отсутствует. Нужно найти натяжение нити T.

1. Выберем вертикальную ось, направленную вверх, и учтём знаки сил: натяжение положительно, сила тяжести отрицательно.
2. Запишем условие силового равновесия: T − 20 = 0.
3. Отсюда T = 20 Н.

Ответ: сила натяжения равна 20 Н.

2. Однородная балка

Балка длиной 4 м и массой 20 кг шарнирно закреплена с одного конца, а за другой конец поддерживается вертикальной нитью. Вес балки приложен в её середине, то есть на расстоянии 2 м от шарнира. Примем g ≈ 10 Н/кг, тогда вес P = 200 Н.

1. Выберем шарнир точкой отсчёта моментов: момент реакции шарнира будет равен нулю, потому что её линия действия проходит через эту точку.
2. Запишем равенство моментов: T·4 − 200·2 = 0, где момент натяжения вращает балку в одну сторону, а момент веса — в другую.
3. Получим 4T = 400, откуда T = 100 Н.

Ответ: натяжение нити равно 100 Н.

3. Лестница у стены

Лестница опирается на гладкую вертикальную стену и шероховатый пол. Стена действует на лестницу горизонтальной реакцией N, пол — вертикальной реакцией и силой трения Fтр. Для минимального коэффициента трения лестница находится на грани скольжения, поэтому Fтр = μNпола.

1. Запишем равновесие по горизонтали: сила трения у пола уравновешивает реакцию стены.
2. Запишем равновесие по вертикали: реакция пола равна весу лестницы, если других вертикальных сил нет.
3. Составим сумму моментов относительно точки опоры на полу: так можно исключить неизвестные силы пола; затем выразим реакцию стены через геометрию лестницы и вес.
4. Подставим найденные реакции в Fтр = μNпола и получим μmin. Численное значение нельзя найти без угла наклона или размеров и положения центра тяжести.

Ответ: коэффициент находят совместно из уравнений сил, моментов и предельного условия трения; одних данных в условии недостаточно для числа.

Типичные ошибки

Проверяют только равнодействующую. Равные противоположные силы могут образовать пару и вращать тело. Проверьте сумму моментов, если силы приложены по разным линиям действия.

Берут за плечо длину силы. Силы не имеют длины, а плечо является расстоянием до линии действия. Проведите из точки вращения перпендикуляр к этой линии и измерьте именно его.

Путают знаки моментов. Знак определяется направлением возможного вращения, а не направлением самой стрелки силы. Для проверки представьте, куда повернулось бы тело под действием каждой силы отдельно.

Забывают реакции опор и натяжения. В уравнение нужно включить каждую реально действующую силу, в том числе реакцию шарнира, опоры, силу трения и вес. Перед расчётом составьте полный рисунок сил и пересчитайте все стрелки.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны законы Ньютона, сложение векторов и разложение сил на составляющие. При опоре на шероховатую поверхность используется понятие силы трения.

Момент силы связывает равновесие с вращательным движением и действием рычага. Условия равновесия применяют при расчёте балок, мостов, подъёмных механизмов, рычагов и строительных конструкций.

Что запомнить

• При равновесии равнодействующая всех сил равна нулю.
• Для отсутствия вращения сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю.
• Полное равновесие твёрдого тела требует выполнения обоих условий одновременно.
• Момент силы равен произведению модуля силы на её плечо: M = F·l.
• Плечо силы — перпендикулярное расстояние от точки до линии действия силы.
• Точку отсчёта моментов выбирают так, чтобы упростить решение задачи.
• Момент силы зависит от направления её вращательного действия.