§ 8.1. Равновесие твердых тел

Определения и обозначения

Равновесие твёрдого тела — состояние, при котором тело покоится или движется поступательно и равномерно, не изменяя вращения. Иными словами, со временем не меняются ни скорость поступательного движения, ни вращение тела. Это определение помогает не спутать равновесие с одним лишь покоем: равномерное прямолинейное движение тоже может быть равновесным.

Момент силы относительно оси — величина, характеризующая способность силы вращать тело вокруг этой оси. Его модуль вычисляют по формуле M = F·l, где F — модуль силы, а l — её плечо. Знак момента показывает направление вращения: положительное направление выбирают заранее, а противоположное ему считают отрицательным.

Плечо силы — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Линия действия — прямая, вдоль которой направлена сила, поэтому плечо измеряют перпендикулярно этой прямой. Оно нужно для расчёта момента: одна и та же сила вращает тело сильнее, если приложена дальше от оси.

Условия равновесия твёрдого тела — равенство нулю равнодействующей сил и суммарного момента сил. Первое условие отвечает за отсутствие поступательного ускорения, второе — за отсутствие углового ускорения. Вместе они позволяют проверить, останется ли тело в покое или продолжит равномерное движение без изменения вращения.

Как это устроено

Одного отсутствия поступательного ускорения недостаточно, чтобы тело было в равновесии. Например, две равные и противоположно направленные силы могут действовать на разных участках тела: их равнодействующая равна нулю, но они стремятся повернуть тело в одну сторону. Такая пара сил не разгоняет тело целиком, зато вызывает вращение, поэтому нужно отдельно проверять моменты.

Условие равновесия поступательного движения следует из второго закона Ньютона: равнодействующая сил равна произведению массы на ускорение. Если тело не ускоряется поступательно, ускорение равно нулю, значит, и векторная сумма всех действующих сил равна нулю: ΣF = 0. Важно складывать силы как векторы, учитывая их направления, а не просто суммировать модули.

Вращающее действие силы зависит и от её величины, и от того, насколько далеко от оси проходит линия её действия. Поэтому момент рассчитывают как произведение силы на плечо: M = F·l. Чем больше плечо, тем больший момент создаёт та же сила; направление вращения определяет знак момента, который нужен для составления общего уравнения.

Чтобы тело не меняло вращение, суммарный момент сил относительно выбранной оси должен быть равен нулю: ΣM = 0. Моменты, поворачивающие тело в одну сторону, складывают с одним знаком, а направленные в другую — с противоположным. Так уравновешиваются не обязательно сами силы, а их вращательное действие относительно оси.

Ось для расчёта можно выбрать удобно, например провести через точку опоры рычага или одну из опор балки. Если линия действия силы проходит через эту ось, расстояние до неё равно нулю, поэтому момент этой силы тоже равен нулю. Такой выбор позволяет убрать из уравнения моменты некоторых сил и облегчает поиск неизвестных величин; при этом в условии сил всё равно учитывают все действующие силы.

Условия равновесия твёрдого тела

Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: сначала запишите условие для поступательного движения, затем — для вращения. При составлении уравнения моментов заранее назначьте знаки направлениям вращения. Условие для силы, проходящей через ось, помогает упростить расчёты.

Разбор задач

Две горизонтальные силы

На тело действуют силы 8 Н и 5 Н в противоположных направлениях. Нужно выяснить, возможно ли равновесие поступательного движения, и найти третью силу, которая его обеспечит. Поскольку направление второй силы противоположно первой, сравним их модули с учётом знаков.

1. Выберем направление силы 8 Н за положительное. Тогда сумма двух сил равна 8 Н − 5 Н = 3 Н.
2. Равнодействующая не равна нулю, значит, только эти две силы не обеспечивают равновесие поступательного движения.
3. Чтобы сумма сил стала нулевой, нужна третья сила 3 Н в направлении, противоположном силе 8 Н.

Ответ: без третьей силы равновесия поступательного движения нет; необходима сила 3 Н, направленная против силы 8 Н. Это условие касается только поступательного движения: для полного равновесия дополнительно нужно проверить суммарный момент сил.

Рычаг с двумя нагрузками

Короткое плечо рычага длиной 0,2 м нагружено силой 30 Н, а длина другого плеча равна 0,6 м. Требуется найти силу на длинном плече. Силы создают моменты в противоположных направлениях, поэтому в равновесии их модули должны совпасть.

1. Запишем условие равновесия моментов: 30 Н · 0,2 м = F · 0,6 м.
2. Вычислим момент короткого плеча: 30 · 0,2 = 6 Н·м.
3. Найдём неизвестную силу: F = 6 / 0,6 = 10 Н.

Ответ: на длинном плече должна действовать сила 10 Н. Она меньше силы на коротком плече, потому что её плечо в три раза больше и моменты при этом равны.

Балка на двух опорах

Горизонтальная однородная балка длиной 4 м опирается на концах. На расстоянии 1 м от левого края находится груз массой 60 кг, масса балки — 20 кг. Найдём реакции опор, приняв g = 10 Н/кг: вес груза равен 600 Н, вес балки — 200 Н и приложен к её середине.

1. Обозначим реакции левой и правой опор Rл и Rп. По вертикали вверх действуют реакции, вниз — оба веса, поэтому Rл + Rп = 800 Н.
2. Выберем ось через левую опору. Момент Rл равен нулю; условие моментов даёт Rп · 4 м = 600 Н · 1 м + 200 Н · 2 м.
3. Отсюда Rп = 1000 / 4 = 250 Н. Подставим в условие сил: Rл = 800 − 250 = 550 Н.

Ответ: реакция левой опоры равна 550 Н, правой — 250 Н. Проверка показывает, что сумма реакций равна суммарному весу, а моменты относительно левой опоры уравновешены.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что равнодействующая, равная нулю, гарантирует полное равновесие. Так думают, потому что сначала рассматривают только поступательное движение, но силы могут создавать ненулевой суммарный момент. Проверьте себя: после уравнения сил обязательно составьте отдельное уравнение моментов.

Вторая ошибка — измерять плечо до точки приложения силы. Точка может находиться близко к оси, но линия действия силы проходить далеко от неё, поэтому такой замер неверен. Проверьте себя: расстояние от оси до линии действия должно быть перпендикулярным.

Третья ошибка — складывать моменты без учёта направлений вращения. Из-за этого моменты, которые должны компенсировать друг друга, могут получить одинаковый знак. До вычислений выберите положительное направление и затем проверяйте, в какую сторону каждая сила стремится повернуть тело.

Четвёртая ошибка — забывать вес тела или реакцию опоры. Обычно внимание сосредоточено на заданных нагрузках, но равновесие определяют все силы, действующие на выбранное тело. Нарисуйте схему сил и проверьте, учтены ли вес, приложенные силы и реакции опор.

Связь с другими темами

Для решения задач на равновесие нужны законы Ньютона, векторное сложение сил и понятие равнодействующей: они объясняют условие ΣF = 0. Моменты и равновесие применяют, рассчитывая рычаги, балки, опоры и другие инженерные конструкции. Дальше эти идеи помогают изучать центр масс, устойчивость равновесия и поведение тел в поле тяжести.

Что запомнить

• Для равновесия твёрдого тела должны выполняться условия равновесия поступательного и вращательного движения.
• Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю.
• Алгебраическая сумма моментов всех сил относительно выбранной оси равна нулю.
• Модуль момента силы равен произведению модуля силы на её плечо: M = F·l.
• Плечо силы — перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы.
• Ось для расчёта моментов можно выбирать так, чтобы упростить вычисления.