§ 8.2. Условия равновесия твердого тела

Определения и обозначения

Абсолютно твёрдое тело — модель тела, в которой расстояния между любыми его точками считаются неизменными. Такая модель позволяет не учитывать деформации и изучать только перемещение и вращение тела. Она применяется при расчёте балок, рычагов и опор.

Равновесие твёрдого тела — состояние, при котором тело не имеет поступательного и вращательного ускорения относительно выбранной инерциальной системы отсчёта. Тело может покоиться или двигаться равномерно и прямолинейно, не изменяя вращения. Это понятие нужно, чтобы определить, сохраняет ли конструкция своё положение.

Равнодействующая сила — сила, заменяющая совместное действие всех сил, приложенных к телу. Она равна их векторной сумме: F⃗р = ΣF⃗. Если равнодействующая равна нулю, поступательное ускорение тела отсутствует, но вращение ещё не обязательно прекращается.

Момент силы относительно точки характеризует способность силы вращать тело вокруг этой точки. Его модуль равен произведению силы на плечо: M = Fd, где d — кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы. Момент нужен для проверки вращательного равновесия.

Как это устроено

У твёрдого тела есть два независимых вида движения: поступательное и вращательное. При поступательном движении все точки тела перемещаются одинаково, а при вращательном они движутся по окружностям вокруг оси. Поэтому тело может не сдвигаться, но поворачиваться, или не поворачиваться, но двигаться целиком.

Из второго закона Ньютона для поступательного движения следует ΣF⃗ = ma⃗. Если тело движется без ускорения, a⃗ = 0, поэтому ΣF⃗ = 0. Это первое условие равновесия: силы должны компенсировать друг друга не только по величине, но и по направлениям.

Для вращения действует аналог закона Ньютона: сумма моментов сил связана с угловым ускорением. Если углового ускорения нет, то сумма моментов относительно выбранной точки равна нулю: ΣM = 0. Силы, линии действия которых проходят через эту точку, момента не создают, потому что их плечи равны нулю.

Одного равенства сил недостаточно, поскольку две равные противоположные силы, приложенные к разным точкам, образуют пару сил и могут вращать тело. Обратная ситуация тоже возможна: моменты могут взаимно уничтожаться, а ненулевая равнодействующая будет сдвигать тело. Для плоской системы сил записывают ΣFₓ = 0, ΣFᵧ = 0 и ΣM = 0, заранее выбирая положительное направление моментов.

Условия равновесия твёрдого тела

Таблица показывает, какое движение исключает каждое уравнение. При решении задачи сначала изображают все силы, затем выбирают оси и точку для моментов. Для плоской системы обычно получают три независимых уравнения и находят неизвестные силы.

Разбор задач

Брусок на горизонтальной опоре

Условие: на горизонтальной опоре покоится брусок массой m; другими силами пренебречь. Нужно найти реакцию опоры N. На брусок действуют сила тяжести mg вниз и реакция опоры вверх.

1. Выберем вертикальную ось Oy и запишем первое условие: N − mg = 0.
2. Отсюда N = mg. Знаки противоположных направлений учтены в проекциях.
3. Моментное условие здесь не даёт нового результата: линии обеих сил проходят через одну вертикаль.

Ответ: N = mg.

Горизонтальная балка и трос

Условие: однородная горизонтальная балка длиной l закреплена шарниром слева, а на правом конце подвешен груз M. Для однозначного расчёта примем вертикальный трос и пренебрежём массой балки. Требуется найти натяжение троса и реакцию шарнира.

1. Возьмём моменты относительно шарнира: T·l − Mg·l = 0, поэтому T = Mg.
2. По вертикали: Rᵧ + T − Mg = 0, откуда Rᵧ = 0.
3. По горизонтали: Rₓ = 0, поскольку горизонтальных сил нет.

Ответ: T = Mg, Rₓ = 0, Rᵧ = 0. Если масса балки или угол троса заданы, их вес и соответствующую составляющую нужно добавить в уравнения.

Лестница у стены

Условие: лестница длиной l и массой m образует с шероховатым полом угол α, а вертикальная стена гладкая. Найдём реакции пола и стены, а также минимальный коэффициент трения. Сила тяжести приложена в центре лестницы.

1. Для моментов относительно нижнего конца: Nст·l sin α − mg(l/2) cos α = 0, поэтому Nст = ½mg ctg α.
2. По горизонтали сила трения пола Fтр = Nст, а по вертикали реакция пола N = mg.
3. На грани скольжения Fтр = μminN, значит μmin = Fтр/N = ½ ctg α.

Ответ: N = mg, Nст = ½mg ctg α, Fтр = ½mg ctg α, μmin = ½ ctg α.

Типичные ошибки

Силы складывают алгебраически без учёта направлений, потому что смотрят только на их числовые значения. На деле силы являются векторами, поэтому нужно строить схему или работать с проекциями. Проверка: сумма проекций по каждой оси должна быть нулевой.

Равенство моментов записывают без точки отсчёта и плеч, из-за чего путают знаки или расстояния. Момент зависит от выбранной точки и линии действия силы. Перед вычислением отметьте плечо и назначьте положительное направление вращения.

Нулевую равнодействующую принимают за полное равновесие, забывая о вращении. Пара сил может не сдвигать тело, но создавать ненулевой момент. Проверьте отдельно и сумму сил, и сумму моментов.

Расстояние до точки приложения силы принимают за плечо. Плечо — это кратчайшее, то есть перпендикулярное расстояние от точки отсчёта до линии действия силы. Если сила направлена через точку отсчёта, её момент равен нулю.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны второй закон Ньютона, сложение векторов, проекции сил и понятие момента силы. Условия равновесия применяются при расчёте балок, рычагов, опор, мостов, кранов и других конструкций. Далее они связываются со статикой, центром масс и механикой деформируемых тел, где к силам добавляются особенности распределения массы и деформаций.

Что запомнить

• Тело находится в полном равновесии, если не имеет ни поступательного, ни вращательного ускорения.
• Первое условие равновесия: векторная сумма всех сил равна нулю.
• Второе условие равновесия: сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю.
• Для плоской системы сил обычно записывают два уравнения проекций сил и одно уравнение моментов.
• Положительное направление моментов выбирают заранее и соблюдают его во всём решении.
• Точку отсчёта моментов выбирают так, чтобы исключить неизвестные силы или упростить вычисления.