§ 8.4. Виды равновесия. Устойчивость равновесия тел

Определения и обозначения

Равновесие тела — состояние, при котором тело сохраняет покой относительно выбранной системы отсчёта. Это означает, что его положение не меняется со временем. Понятие нужно, чтобы исследовать тела, которые находятся на опорах или удерживаются силами.

Устойчивое равновесие — равновесие, при котором после небольшого отклонения тело возвращается в исходное положение. Возникающие силы или моменты противодействуют отклонению. Так можно понять, почему шар в углублении сам возвращается ко дну.

Неустойчивое равновесие — равновесие, при котором малое отклонение удаляет тело от исходного положения. В этом случае возникающий момент направлен в сторону отклонения. Такое состояние имеет шар на вершине выпуклой поверхности.

Безразличное равновесие — равновесие, при котором после отклонения тело остаётся в новом положении. Ни возвращающего, ни опрокидывающего действия не возникает. Примером служит шар, перемещённый по горизонтальной плоскости.

Как это устроено

Равновесие определяется отсутствием линейного и углового ускорений. Поэтому равнодействующая всех сил должна быть равна нулю, а суммарный момент сил относительно любой точки — также нулю. Если хотя бы одно из этих условий нарушено, тело начнёт поступательно двигаться или вращаться.

Устойчивость проверяют малым мысленным отклонением тела от исходного положения. Затем выясняют, куда направлены появившиеся сила или момент: к исходному положению или от него. Возвращающий момент уменьшает отклонение, а момент, направленный в ту же сторону, его увеличивает.

Устойчивость связана с положением центра тяжести — точки, к которой условно приложена сила тяжести тела. При устойчивом равновесии после отклонения линия действия силы тяжести создаёт момент, возвращающий тело к опоре или в углубление. Если линия действия смещается так, что момент опрокидывает тело, равновесие становится неустойчивым.

Тот же вывод можно получить через потенциальную энергию. При малом отклонении от устойчивого положения энергия возрастает, поэтому система стремится вернуться к меньшему значению. В неустойчивом положении энергия максимальна и уменьшается при отклонении, а при безразличном равновесии не меняется.

Один предмет может иметь разные виды равновесия в разных положениях. Шар в углублении после смещения скатывается обратно, на вершине выпуклой поверхности скатывается дальше, а на горизонтальной плоскости после перемещения просто остаётся там. Значит, вид равновесия определяется не только свойствами предмета, но и его положением и условиями опоры.

Виды равновесия тела

Таблица показывает, как связаны наблюдаемое поведение тела, энергия и направление момента. При решении задачи сначала найдите исходное положение, а затем мысленно сместите тело. После этого сравните результат с признаками в таблице.

Если момент направлен обратно к исходному положению, равновесие устойчивое. Для неустойчивого и безразличного равновесия поведение, энергия и момент определяются аналогично: отклонение соответственно усиливается или не вызывает возвращения.

Разбор задач

Шар в сферической чаше

Условие. Шар покоится на дне сферической чаши. Определите вид равновесия и объясните ответ.

1. Мысленно сместим шар немного в сторону от дна чаши.
2. Сила тяжести направлена вертикально вниз, поэтому шар начнёт двигаться по поверхности чаши к нижней точке.
3. Возникающая составляющая силы тяжести и её момент направлены обратно к исходному положению.

Ответ: равновесие устойчивое, потому что после малого отклонения шар возвращается на дно чаши.

Вертикальный стержень на нижнем конце

Условие. Однородный стержень установлен вертикально на нижнем конце. Определите вид равновесия и объясните, почему даже малое отклонение приводит к падению.

1. Центр тяжести однородного стержня находится посередине, выше точки опоры.
2. После малого наклона линия действия силы тяжести проходит не через опору, поэтому появляется момент силы тяжести.
3. Этот момент направлен в сторону наклона и увеличивает отклонение, а не возвращает стержень вертикально.

Ответ: равновесие неустойчивое: даже малое отклонение вызывает опрокидывающий момент и приводит к падению.

Потенциальная энергия и координата

Условие. Потенциальная энергия задана законами U(x) = ax² при a > 0, U(x) = −ax² при a > 0 или U(x) = const. Определите вид равновесия при x = 0.

1. При U(x) = ax² значение энергии в точке x = 0 минимально, а при смещении возрастает. Это устойчивое равновесие.
2. При U(x) = −ax² энергия в точке x = 0 максимальна и уменьшается при удалении от неё. Равновесие неустойчивое.
3. При постоянной энергии любое положение равноценно исходному. Равновесие безразличное.

Ответ: соответственно устойчивое, неустойчивое и безразличное равновесие.

Типичные ошибки

Считать любое состояние покоя устойчивым. Покой показывает только наличие равновесия в данный момент, но не его вид. Проверьте, что произойдёт после небольшого отклонения.

Определять устойчивость только по величине силы. Одинаковая по величине сила может создавать разные результаты в зависимости от плеча и направления. Всегда анализируйте момент силы относительно точки опоры.

Путать неустойчивое равновесие с отсутствием равновесия. В исходном положении силы могут быть полностью уравновешены. Ошибку легко обнаружить, если отдельно рассмотреть исходное положение и положение после отклонения.

Считать наименьшую высоту центра тяжести гарантией устойчивости. Это правило работает не при любых опорах и направлениях смещения. Проверьте, куда после отклонения перемещается линия действия силы тяжести и какой момент она создаёт.

Связь с другими темами

Для изучения равновесия нужны условия равновесия тела, правило моментов, понятия центра тяжести и потенциальной энергии. Эти знания применяют при расчёте устойчивости конструкций, тел на опорах и механизмов. Позже устойчивость поможет понять возникновение колебаний и особенности устойчивого движения.

Что запомнить

• Равновесие означает нулевые ускорение и угловое ускорение.
• Устойчивое равновесие восстанавливается после малого отклонения.
• При неустойчивом равновесии малое отклонение усиливается.
• При безразличном равновесии тело после отклонения занимает новое положение покоя.
• Устойчивому равновесию соответствует минимум потенциальной энергии.
• Неустойчивому равновесию соответствует максимум потенциальной энергии.
• Для проверки устойчивости нужно мысленно отклонить тело и определить направление возникающего момента.