"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Движение жидкости или газа меняет распределение давления: в горизонтальной трубе быстрый поток обычно оказывает меньшее статическое давление, чем медленный. Чтобы описывать такие потоки, используют уравнение неразрывности и уравнение Бернулли, связывающее давление, скорость и высоту. Эти законы помогают объяснять работу водопроводов, распылителей и труб Вентури, а также решать задачи на скорость истечения и расход.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Статическое давление — давление, измеряемое в потоке датчиком, движущимся вместе с жидкостью, или через боковое отверстие; обозначается p. Оно показывает, с какой силой поток давит на стенки и помещённые в него предметы. Эта величина нужна, чтобы отличать обычное давление потока от эффекта, связанного с его движением.
Динамическое давление — величина ρv²/2, где ρ — плотность, а v — скорость потока. Оно связано с кинетической энергией единицы объёма движущейся жидкости или газа. С ним удобно учитывать, как энергия движения участвует в общем энергетическом балансе потока.
Уравнение неразрывности — соотношение ρSv = const, выражающее сохранение массы потока; S — площадь поперечного сечения трубы. Для несжимаемой жидкости оно упрощается до Sv = const, поскольку плотность не меняется. Закон помогает находить скорость в сечениях разной площади.
Уравнение Бернулли — закон сохранения энергии для установившегося потока идеальной жидкости: p + ρv²/2 + ρgh = const. В сумму входят статическое давление, динамический вклад и вклад потенциальной энергии; h — высота. Формула позволяет связывать давление, скорость и высоту в разных точках потока.
При установившемся течении картина движения в каждой точке со временем не меняется. Поэтому за одинаковое время через последовательные сечения трубы проходит одна и та же масса: иначе вещество накапливалось бы между сечениями или там образовывалась бы пустота. Массовый расход равен ρSv, и потому это произведение постоянно. Если жидкость несжимаема, плотность одинакова, так что в узком участке скорость должна возрасти.
Уравнение Бернулли можно получить из закона сохранения энергии, выделив участок жидкости между двумя сечениями. Работа сил давления перемещает этот объём и может изменить его скорость или высоту. Работа не исчезает: она переходит в изменение кинетической энергии и потенциальной энергии тяжести. После деления энергетического баланса на объём получаются вклады p, ρv²/2 и ρgh, сумма которых остаётся постоянной вдоль линии тока.
В горизонтальной трубе высота не меняется, поэтому вклад ρgh одинаков в сравниваемых точках. Если плотность постоянна, неизменной остаётся сумма p + ρv²/2. Когда поток ускоряется, динамическое давление увеличивается; чтобы сумма сохранилась, статическое давление p должно уменьшиться. Именно при этих условиях верно привычное правило о связи большей скорости с меньшим давлением.
Если точки потока находятся на разных высотах, одной скорости для сравнения давления недостаточно. При подъёме жидкости возрастает её потенциальная энергия, то есть вклад ρgh. На эту прибавку приходится энергия, которая иначе могла бы оставаться в виде давления или движения. Поэтому между двумя точками следует учитывать все три слагаемых уравнения Бернулли, а не только скорость и статическое давление.
В реальных жидкостях внутреннее трение, а в газах и жидкостях также сопротивление стенок могут рассеивать механическую энергию. Из-за этого сумма трёх слагаемых не обязана оставаться постоянной на значительном участке реальной трубы. Школьную формулу применяют как приближение для установившегося потока, когда потерями можно пренебречь. Если сопротивление существенно, в расчёт вводят дополнительные поправки на потери энергии.
График показывает, как статическое давление меняется со скоростью, если поток горизонтальный и сумма p + ρv²/2 равна 100 кПа. Для воды ρ = 1000 кг/м³, поэтому ρv²/2 = 500v² Па. Кривая убывает: при увеличении скорости давление падает, пока рассматриваемые условия остаются выполнимыми.
| Величина или закон | Формула | Физический смысл | Условия применения |
|---|---|---|---|
| Расход массы | ρSv = const | За единицу времени через сечение проходит одинаковая масса вещества | Установившийся поток |
| Расход несжимаемой жидкости | Sv = const | В узком сечении скорость больше | Плотность постоянна |
| Динамическое давление | ρv²/2 | Энергия движения единицы объёма потока | Поток жидкости или газа с плотностью ρ |
| Уравнение Бернулли | p + ρv²/2 + ρgh = const | Сумма статического, динамического и гидростатического вкладов сохраняется | Идеальная жидкость, установившийся поток вдоль линии тока |
| Горизонтальный поток | p + ρv²/2 = const | Рост скорости вызывает падение статического давления | Одинаковая высота и постоянная плотность |
Сначала выбери строку по условиям задачи: для изменения площади трубы обычно нужен закон неразрывности, а для связи давления со скоростью — уравнение Бернулли. Проверь, постоянна ли плотность и меняется ли высота между точками. Если условие не соответствует строке, формулу нельзя применять без дополнительных поправок.
Вода течёт по трубе. Площадь широкого сечения 4 см², площадь узкого сечения 1 см², скорость в широком сечении 2 м/с. Найдите скорость в узком сечении. Вода практически несжимаема, поэтому плотность в обоих сечениях одинакова.
Ответ: скорость в узком сечении равна 8 м/с. Она в четыре раза больше, чем в широком, потому что площадь уменьшилась в четыре раза.
В горизонтальной трубе вода движется со скоростью 2 м/с при давлении 200 кПа. Каково давление в участке, где скорость равна 8 м/с? Сравниваются точки на одинаковой высоте, а плотность воды примем равной 1000 кг/м³. Потери энергии не учитываем.
Ответ: давление в быстром участке равно 170 кПа.
Из большого открытого резервуара вода вытекает через малое отверстие, расположенное на 1,8 м ниже уровня воды. Пренебрегая потерями и скоростью опускания уровня, определите скорость истечения и расход через отверстие площадью 2 см². Резервуар и выход открыты в атмосферу, поэтому атмосферное давление на обоих уровнях одинаково.
Ответ: скорость истечения примерно 5,9 м/с, расход — 0,00118 м³/с (1,18 л/с).
Считать, что давление всегда уменьшается при увеличении скорости, — слишком широкое обобщение. Его обычно переносят на любые ситуации из горизонтального случая, забывая о высоте и изменении плотности. Проверь себя: сравниваются ли точки на одной высоте, постоянна ли плотность и можно ли пренебречь потерями. Если нет, нужно рассматривать все условия уравнения Бернулли.
Для газа иногда записывают Sv = const, хотя плотность газа может заметно изменяться. Такая ошибка возникает, когда формулу для несжимаемой жидкости запоминают без исходного условия. Проверка проста: если плотность не постоянна, используй массовый расход ρSv = const. Тогда изменение площади и скорости можно связать с изменением плотности.
Статическое давление p путают с динамическим давлением ρv²/2, принимая их за два названия одной величины. Первое характеризует давление потока, второе связано с энергией его движения на единицу объёма. Перед сложением проверь, что записано именно уравнение Бернулли и учтён вклад высоты ρgh, если точки расположены на разных уровнях.
Уравнение Бернулли применяют к любому реальному потоку, даже если трение и сопротивление велики. Причина — забывают, что школьная формула описывает идеальный поток без потерь энергии. Чтобы проверить решение, оцени, существенны ли вязкость, сопротивление стенок и турбулентность. Если потери велики, их нужно учитывать, а простой расчёт считать лишь приближением.
Для понимания темы нужны понятия давления и плотности, а также работа, мощность, кинетическая и потенциальная энергия. Именно закон сохранения энергии лежит в основе уравнения Бернулли. Из гидростатики используется представление о зависимости давления от высоты, а условие равенства расходов в последовательных участках потока приводит к уравнению неразрывности.
Эти знания применяют для объяснения работы водопроводов, распылителей и труб Вентури, где изменение сечения влияет на скорость и давление. Они также помогают разбирать задачи аэродинамики и подъёмной силы крыла. В каждом таком применении важно проверять, насколько хорошо модель идеального установившегося потока описывает реальное движение.
Почему в узком участке трубы скорость жидкости увеличивается?
В установившемся потоке за одинаковое время через любое сечение проходит одинаковая масса жидкости. Если плотность постоянна, произведение площади сечения на скорость не меняется: Sv = const. Поэтому при уменьшении площади скорость возрастает.
Почему при увеличении скорости потока давление уменьшается?
В горизонтальном потоке идеальной жидкости сохраняется сумма статического и динамического давлений: p + ρv²/2 = const. При росте скорости увеличивается динамическая часть, поэтому статическая часть уменьшается. Это заключение верно при указанных условиях, а не для любого потока.
Чем статическое давление отличается от динамического?
Статическое давление p измеряют датчиком, движущимся вместе с потоком, или через боковое отверстие. Динамическое давление ρv²/2 связано с энергией движения единицы объёма. Это разные физические величины, хотя в уравнении Бернулли они входят в одну сумму.
Можно ли применять уравнение Бернулли к любому реальному потоку?
Нет: школьная формула предполагает идеальную жидкость и установившееся течение вдоль линии тока. В реальных потоках вязкость и сопротивление приводят к потерям энергии. При больших потерях их нужно учитывать отдельно, иначе расчёт будет неточным.
Почему для газа нельзя всегда использовать формулу Sv = const?
Формула Sv = const предполагает постоянную плотность. Газ сжимается и расширяется, поэтому его плотность может меняться вдоль потока. В общем случае для установившегося течения используют сохранение массового расхода: ρSv = const.
§ 9.10. Давление в движущихся жидкостях и газах
