"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Уравнение Бернулли описывает распределение механической энергии в потоке идеальной жидкости. Оно связывает давление, скорость движения и высоту выбранного участка потока. Формула помогает понять, почему в узкой трубе жидкость движется быстрее, как меняется давление и с какой скоростью вода вытекает из отверстия. Главное условие — стационарное течение несжимаемой жидкости без потерь энергии.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Идеальная жидкость — модель жидкости без вязкости, в которой нет потерь механической энергии на внутреннее трение. Такая модель упрощает расчёты: можно применить закон сохранения механической энергии без добавочных слагаемых.
Стационарное течение — течение, при котором скорость и давление в каждой точке не изменяются со временем. Поэтому поток можно описывать одними и теми же величинами, не учитывая их изменение во времени.
Линия тока — линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости жидкости. Движение между двумя выбранными точками такой линии удобно сравнивать с помощью уравнения Бернулли.
Уравнение Бернулли — соотношение, выражающее сохранение механической энергии идеальной жидкости вдоль линии тока. Оно связывает давление, скорость и высоту и показывает, как изменение одной величины компенсируется изменением других.
Для вывода уравнения выбирают стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Стационарность позволяет рассматривать один и тот же объём жидкости, проходящий через разные сечения, а несжимаемость означает постоянство плотности. Отсутствие вязкости исключает превращение механической энергии во внутреннюю, поэтому можно применять закон сохранения энергии в обычном виде.
Рассмотрим элемент жидкости, который перемещается из одного сечения трубы в другое. Силы давления совершают работу: давление сзади толкает элемент вперёд, а давление впереди препятствует движению. Разность этих работ изменяет кинетическую энергию элемента, а при подъёме или опускании ещё и его потенциальную энергию в поле тяжести.
Запишем закон сохранения энергии для единицы объёма жидкости. Работа сил давления на единицу объёма даёт изменение кинетической и потенциальной энергии, поэтому после переноса членов в одну сторону получаем p₁ + ρv₁²/2 + ρgh₁ = p₂ + ρv₂²/2 + ρgh₂. Поскольку точки можно выбирать любыми на одной линии тока, это записывают короче: p + ρv²/2 + ρgh = const.
Первый член p — статическое давление, то есть обычное давление жидкости на стенки и тела. Второй член ρv²/2 называют динамическим давлением: он связан с кинетической энергией единицы объёма. Третий член ρgh — гидростатическая составляющая, связанная с высотой; их сумма постоянна, потому что потери энергии отсутствуют.
Если два участка находятся на одной высоте, величина ρgh у них одинакова, поэтому рост скорости приводит к уменьшению p. Это не означает, что давление всегда падает при ускорении: при заметном изменении высоты нужно сравнивать все три члена. В состоянии покоя v = 0, и из формулы получается p + ρgh = const, то есть закон гидростатики.
| Величина или составляющая | Обозначение | Физический смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|
| Давление жидкости | p | Энергия давления в расчёте на единицу объёма | Па |
| Плотность жидкости | ρ | Масса единицы объёма жидкости | кг/м³ |
| Скорость потока | v | Скорость движения частиц жидкости | м/с |
| Динамическое давление | ρv²/2 | Кинетическая энергия единицы объёма жидкости | Па |
| Гидростатическая составляющая | ρgh | Потенциальная энергия единицы объёма жидкости | Па |
| Полная сумма | p + ρv²/2 + ρgh | Механическая энергия единицы объёма вдоль линии тока | Па |
Таблица помогает определить, какие величины нужно подставить в уравнение и за что отвечает каждый член. Сначала проверьте единицы: давление и обе энергетические составляющие должны быть выражены в паскалях. При сравнении двух точек удобно записывать равенство полных сумм, а не рассматривать только давление.
Вода движется горизонтально: v₁ = 2 м/с, p₁ = 200 кПа, в сужении v₂ = 6 м/с. Высоты одинаковы, поэтому гидростатические слагаемые сокращаются. Ищем давление p₂.
Ответ: давление в сужении равно 184 кПа. Оно уменьшилось, потому что на той же высоте скорость потока возросла.
Площадь сечения уменьшается в 3 раза, значит S₂ = S₁/3. В широком участке v₁ = 2 м/с и p₁ = 150 кПа; требуется найти v₂ и p₂. Сначала находим скорость, поскольку именно она нужна для уравнения Бернулли.
Ответ: скорость в узком участке 6 м/с, давление 134 кПа.
Свободная поверхность воды находится на 1,8 м выше отверстия. Давление на поверхности и у отверстия одинаково и равно атмосферному, а скорость опускания поверхности пренебрежимо мала. Обозначим скорость истечения через v.
Ответ: скорость истечения примерно 6 м/с. Чем выше уровень воды над отверстием, тем больше гидростатическая составляющая и тем быстрее вытекает вода.
Применение к вязкой жидкости без оговорки. В реальном потоке часть энергии теряется на внутреннее трение, поэтому сумма может уменьшаться. Проверьте, сказано ли в условии, что жидкость идеальная или потерями можно пренебречь.
Утверждение, что скорость всегда уменьшает давление. Такой вывод верен на одной высоте, но при подъёме или опускании меняется член ρgh. Записывайте полное уравнение для двух точек и сравнивайте все слагаемые.
Путаница между p и ρv²/2. Давление — статическая характеристика, а динамическое давление показывает кинетическую энергию единицы объёма; численно они могут иметь одинаковую единицу, но это разные величины. Проверьте, не заменили ли вы один член другим.
Неверный выбор скорости или высоты. Площадь трубы сама по себе не входит в уравнение Бернулли: сначала через S₁v₁ = S₂v₂ находят скорость. Также задайте один уровень отсчёта высоты и используйте его последовательно для обеих точек.
Для понимания вывода нужны закон сохранения механической энергии, работа силы давления, кинетическая и потенциальная энергия. Также важно знать давление и уравнение неразрывности, связывающее площадь сечения со скоростью потока.
Уравнение используют при изучении истечения жидкости, трубы Вентури и пульверизатора. Позже оно помогает объяснять подъёмную силу и движение газа, если подходящая модель потока допускает пренебрежение потерями.
Тема соединяет механику с гидродинамикой. Она показывает, как общий закон сохранения энергии работает для движущейся жидкости.
Почему при сужении трубы скорость жидкости увеличивается?
Для стационарного потока несжимаемой жидкости за одинаковое время через любое сечение проходит один и тот же объём. Поэтому при уменьшении площади сечения скорость должна увеличиться: S₁v₁ = S₂v₂.
Почему в узком участке трубы давление обычно меньше?
На одной высоте сумма p + ρv²/2 постоянна. Если в узком участке скорость больше, динамическое давление ρv²/2 возрастает, поэтому статическое давление p уменьшается.
Можно ли применять уравнение Бернулли к реальной воде?
Да, но только как приближённую модель, если потерями на вязкость можно пренебречь. В длинных или очень узких трубах нужно учитывать переход части механической энергии во внутреннюю.
Что означает постоянная в уравнении Бернулли?
Это общая механическая энергия единицы объёма жидкости, одинаковая вдоль выбранной линии тока. Её значение зависит от конкретного потока и выбранного уровня отсчёта высоты.
Как из уравнения Бернулли получается формула скорости истечения жидкости?
Для свободной поверхности бака и отверстия давления одинаковы, а скорость поверхности можно считать нулевой. Тогда из уравнения Бернулли получают v = √(2gh), где h — высота столба жидкости над отверстием.
§ 9.11. Уравнение Бернулли
