§ 9.12. Применение уравнения Бернулли

Определения и обозначения

Уравнение Бернулли имеет вид p + ρv²/2 + ρgh = const. Величина p — статическое давление жидкости, ρ — её плотность, v — скорость потока, а h — высота точки над выбранным уровнем. Равенство используют, чтобы сравнивать состояние жидкости в разных местах одной линии тока.

Величина ρv²/2 называется динамическим давлением. Она численно равна кинетической энергии единицы объёма жидкости, поэтому показывает, какая часть энергии связана с движением потока. Это не отдельное давление стенок, а удобный энергетический член уравнения.

Трубка тока — область потока, ограниченная линиями тока. Через её боковую поверхность жидкость не перетекает, потому что скорость в каждой точке направлена вдоль линии тока. Такое выделение позволяет рассматривать движение жидкости по одному потоку.

Расход жидкости Q — объём жидкости, проходящий через поперечное сечение за единицу времени. При равномерной скорости Q = Sv, где S — площадь сечения, а v — скорость. Формула нужна для связи размеров трубы с изменением скорости потока.

Как это устроено

Уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии жидкости. При движении вдоль линии тока энергия единицы объёма может быть связана с давлением, движением или положением по высоте, но их сумма остаётся постоянной. Если одна составляющая увеличивается, другая или несколько других должны уменьшиться.

Рассмотрим неразрывное течение в трубе. За одинаковое время через любое сечение проходит один и тот же объём жидкости, иначе жидкость накапливалась бы внутри трубы или возникали бы пустоты. Поэтому Q = Sv = const: в узком участке площадь меньше, а скорость должна быть больше.

В горизонтальной трубе высоты двух сечений одинаковы, поэтому члены ρgh сокращаются. Тогда p + ρv²/2 = const. Если поток ускоряется, динамическое давление ρv²/2 возрастает, и статическое давление p уменьшается на соответствующую величину.

Для трубы переменного сечения сначала находят неизвестную скорость из условия S₁v₁ = S₂v₂. Затем скорости подставляют в уравнение Бернулли для двух сечений. Такой порядок важен: одного уравнения энергии обычно недостаточно, чтобы определить и скорости, и давления.

При истечении из отверстия сравнивают свободную поверхность и отверстие. Если сосуд широкий, скорость опускания поверхности мала; на поверхности и у отверстия действует одно и то же атмосферное давление. При разности высот h потенциальная энергия превращается в кинетическую, поэтому скорость истечения v = √(2gh). Формула применима при малой вязкости, небольшом отверстии и достаточно медленном изменении уровня.

Применение уравнения Бернулли в типичных ситуациях

Сначала определите, какая ситуация описана, и выберите подходящие величины. Для трубы переменного сечения используйте обе формулы: постоянство расхода и уравнение Бернулли. Не забывайте проверять, одинаковы ли высоты и атмосферные давления.

Разбор задач

Задача 1. Вода течёт по горизонтальной трубе постоянного сечения со скоростью 2 м/с. Найти разность давлений в двух сечениях. Высоты и скорости в них одинаковы.

1. Запишем уравнение Бернулли: p₁ + ρv₁²/2 = p₂ + ρv₂²/2, так как труба горизонтальная.
2. Площадь постоянна, поэтому при установившемся течении v₁ = v₂ = 2 м/с.
3. Кинетические члены одинаковы и сокращаются: p₁ = p₂.

Ответ: разность давлений равна 0 Па.

Задача 2. Площадь узкого сечения вдвое меньше площади широкого, скорость воды в широком сечении 1 м/с. Найдём скорость и разность давлений; плотность воды ρ = 1000 кг/м³.

1. Пусть S₁ — широкое, а S₂ = S₁/2 — узкое сечение. Из условия неразрывности v₁S₁ = v₂S₂, поэтому v₂ = 2 м/с.
2. Труба горизонтальна, значит p₁ + ρv₁²/2 = p₂ + ρv₂²/2.
3. Получаем p₁ − p₂ = ρ(v₂² − v₁²)/2 = 1000(4 − 1)/2 = 1500 Па.

Ответ: в узком сечении скорость 2 м/с, а давление на 1500 Па меньше, чем в широком.

Задача 3. Отверстие в открытом сосуде находится на 1,25 м ниже уровня воды. Сосуд широкий, вязкостью пренебрегаем. Требуется найти скорость истечения.

1. Применяем уравнение Бернулли между свободной поверхностью и отверстием.
2. Атмосферные давления одинаковы и сокращаются, а скорость поверхности можно считать нулевой.
3. Остаётся ρgh = ρv²/2, откуда v = √(2gh) = √(2 · 9,8 · 1,25) ≈ 4,95 м/с.

Ответ: скорость истечения примерно 5 м/с.

Типичные ошибки

Давление в узком сечении считают большим. Ошибка возникает из-за представления, что «сжатый» поток сильнее давит на стенки. На горизонтальном участке узость увеличивает скорость, поэтому статическое давление уменьшается; проверьте это по p + ρv²/2 = const.

Уравнение применяют без проверки условий. Реальная вязкость, неустановившееся движение или сравнение точек разных линий тока могут нарушить простую модель. Перед решением перечислите, можно ли считать жидкость идеальной, несжимаемой и поток установившимся.

Забывают высоту h. Член ρgh нельзя удалять только потому, что он неудобен: он сокращается лишь при одинаковых высотах. Сначала сравните уровни двух сечений, а затем решайте, сохраняется ли этот член.

Смешивают p и ρv²/2 или расход и скорость. Давление характеризует статическое состояние, динамическое давление — движение, а расход Q = Sv — объём в единицу времени. Проверяйте единицы: у p и ρv²/2 они одинаковы, а у Q — м³/с.

Связь с другими темами

Для понимания уравнения Бернулли нужны закон сохранения энергии, понятие давления и формула гидростатического давления ρgh. Условие постоянства расхода опирается на уравнение неразрывности и связь Q = Sv. Эти знания применяют при измерении скорости и расхода потока, объяснении работы распылителей и изучении подъёмной силы крыла.

Что запомнить

• Уравнение Бернулли выражает сохранение механической энергии единицы объёма жидкости.
• Его применяют вдоль линии тока при установившемся течении идеальной несжимаемой жидкости.
• В горизонтальном потоке рост скорости сопровождается уменьшением статического давления.
• Для несжимаемой жидкости произведение площади сечения на скорость постоянно: Sv = const.
• В узком участке трубы скорость потока больше, чем в широком.
• Скорость истечения из открытого сосуда зависит от высоты уровня жидкости над отверстием: v = √(2gh).