"Физика. Механика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Вязкая жидкость сопротивляется относительному движению своих слоёв, поэтому при течении часть энергии теряется на внутреннее трение. Свойства потока описывают коэффициент вязкости, профиль скоростей и расход жидкости. Для ламинарного течения в трубе скорость у стенок равна нулю, а в центре максимальна. Закон Пуазейля связывает расход с перепадом давления, радиусом трубы и вязкостью, а число Рейнольдса помогает определить режим течения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вязкость — свойство жидкости сопротивляться относительному перемещению соседних слоёв. Если слои движутся с разными скоростями, между ними возникает внутреннее трение. Это понятие нужно, чтобы описывать потери энергии при течении.
Коэффициент вязкости η характеризует внутреннее трение жидкости и входит в закон F = ηS(v/l). Здесь F — сила трения, S — площадь слоёв, v — разность их скоростей, l — расстояние между ними. Чем больше η, тем труднее слоям скользить друг относительно друга.
Ламинарное течение — движение жидкости упорядоченными слоями, почти без перемешивания. Каждый слой сохраняет своё положение относительно соседних. Такой режим позволяет точно рассчитать профиль скорости и расход.
Турбулентное течение сопровождается вихрями, хаотическими изменениями скорости и активным перемешиванием слоёв. Движение становится сложнее предсказать по простой формуле. Для оценки режима используют число Рейнольдса.
Соседние слои жидкости могут двигаться с разными скоростями. Более быстрый слой увлекает медленный, а медленный тормозит быстрый из-за взаимодействия молекул и обмена частицами между слоями. Поэтому сила внутреннего трения направлена против их относительного движения: она уменьшает разность скоростей, а не обязательно останавливает поток целиком.
Закон вязкого трения связывает силу с площадью соприкосновения и градиентом скорости: F = ηS(Δv/l). При той же разности скоростей сила больше для широких слоёв и меньше, если расстояние между ними велико. Величина Δv/l показывает, насколько быстро меняется скорость при переходе от одного слоя к другому.
У стенки жидкость взаимодействует с её поверхностью и как бы прилипает к ней. Поэтому при неподвижной стенке скорость ближайшего слоя равна нулю, а дальше от стенки она возрастает. В круглой трубе из-за симметрии скорость максимальна на оси, где влияние обеих стенок одинаково и удалено сильнее всего.
Для ламинарного потока профиль скорости в трубе параболический: v(r) = vmax(1 − r²/R²), где r — расстояние от оси, а R — радиус трубы. Скорость равна нулю при r = R и достигает vmax при r = 0. Складывая скорости всех тонких слоёв по сечению, получают объёмный расход Q = πR⁴Δp/(8ηL) — закон Пуазейля.
Из закона Пуазейля видно, что расход растёт с перепадом давления и с четвёртой степенью радиуса, но уменьшается при увеличении вязкости и длины трубы. При росте скорости или размеров потока устойчивое послойное движение может разрушиться: небольшие возмущения начинают усиливаться и образуют вихри. Это переход к турбулентности, вероятность которого оценивают числом Рейнольдса Re = ρvd/η.
| Свойство | Ламинарное течение | Турбулентное течение |
|---|---|---|
| Движение слоёв | Слои движутся упорядоченно, почти не перемешиваясь | Движение сопровождается вихрями и перемешиванием |
| Профиль скоростей в круглой трубе | Параболический; скорость максимальна на оси и равна нулю у стенок | Неровный; скорость по сечению распределена более равномерно |
| Зависимость сопротивления | Определяется вязкостью и градиентом скорости | Существенно зависит от вихрей и скорости потока |
| Условия возникновения | Малое число Рейнольдса | Большое число Рейнольдса |
| Пример | Медленное течение масла по тонкой трубке | Быстрое течение воды в широкой трубе |
В таблице сначала сравнивают строение потока, затем распределение скоростей и причины сопротивления. Последние строки помогают связать режим с числом Рейнольдса и реальными примерами. Для промежуточных условий границу между режимами нельзя определять только по одному признаку.
Между пластинами находятся слои масла толщиной l = 1 мм = 0,001 м. Площадь соприкосновения S = 0,02 м², скорость верхней пластины v = 0,4 м/с, коэффициент вязкости η = 0,8 Па·с. Нужно найти силу, с которой жидкость сопротивляется движению.
Ответ: F = 6,4 Н.
Перепад давления и время течения для двух капилляров одинаковы. Радиус второго капилляра в два раза больше первого: R₂ = 2R₁. Требуется сравнить объёмы жидкости, а значит и расходы Q₁ и Q₂.
Ответ: второй капилляр пропускает объём, в 16 раз больший.
Пусть известны плотность жидкости ρ, её коэффициент вязкости η, средняя скорость v и диаметр трубы d. По этим данным нельзя надёжно судить о режиме только по скорости. Нужно учесть все четыре величины одновременно.
Ответ: режим определяют сравнением рассчитанного Re с критическим числом Рейнольдса, а не одной скоростью.
Вязкость препятствует движению всей жидкости как целого. Так считают, потому что поток действительно теряет энергию. На деле внутреннее трение возникает при разности скоростей слоёв; при равномерном движении всей жидкости относительно друг друга они не трутся.
Профиль скорости в трубе плоский. Ошибка появляется, если не учитывать сцепление жидкости со стенкой. Проверьте себя: у стенки неподвижной трубы скорость должна быть нулевой, а максимум — на оси.
Расход пропорционален радиусу трубы. Линейную зависимость легко принять по аналогии с площадью, но в вязком потоке влияет и изменение профиля скоростей. В формуле Пуазейля нужно увидеть R⁴ и при сравнении возводить отношение радиусов в четвёртую степень.
Любое быстрое течение турбулентно. Такой вывод игнорирует вязкость, плотность и размеры канала. Для проверки вычислите Re: режим определяется совокупностью параметров, а не скоростью отдельно.
Для изучения темы нужны давление, сила, работа с единицами измерения, градиент скорости и движение жидкости по трубам. Уравнение неразрывности описывает сохранение расхода, а уравнение Бернулли — превращения энергии; течение вязкой жидкости дополняет их учётом потерь на внутреннее трение. Эти знания применяют при расчёте капилляров, кровеносных сосудов, трубопроводов и движения тел в вязкой среде.
Почему жидкость у стенки трубы неподвижна?
Слой жидкости непосредственно соприкасается со стенкой и из-за вязкости как бы прилипает к ней. Поэтому при неподвижной стенке скорость этого слоя равна нулю, а по мере удаления от стенки возрастает.
Чем вязкость отличается от плотности жидкости?
Плотность показывает, какая масса приходится на единицу объёма вещества. Вязкость характеризует сопротивление относительному движению слоёв и определяет внутреннее трение.
Почему увеличение радиуса трубы резко увеличивает расход?
По закону Пуазейля расход пропорционален четвёртой степени радиуса: Q ∝ R⁴. Поэтому даже небольшое увеличение радиуса заметно расширяет область быстрого течения и резко увеличивает объём жидкости за единицу времени.
Всегда ли быстрое течение является турбулентным?
Нет. Режим определяется не только скоростью, но и плотностью, вязкостью жидкости и размером трубы. Эти величины объединяет число Рейнольдса, поэтому вязкая жидкость в узком канале может течь ламинарно и при заметной скорости.
Как определить режим течения с помощью числа Рейнольдса?
Сначала вычисляют Re = ρvd/η, используя среднюю скорость и диаметр трубы. При малом Re течение обычно ламинарное, а при большом — турбулентное; для промежуточных значений граница зависит от условий потока.
§ 9.13. Течение вязкой жидкости
