2. Уравнение Бернулли

Определения и обозначения

Уравнение Бернулли — это связь давления, скорости и высоты для установившегося течения идеальной несжимаемой жидкости вдоль одной линии тока: p + ρv²/2 + ρgh = const. Оно нужно, чтобы сравнивать состояние жидкости в двух сечениях потока и находить неизвестное давление или скорость.

Давление p — давление жидкости в рассматриваемом сечении потока, измеряемое в паскалях (Па). Оно показывает, с какой силой жидкость действует на единицу площади стенки или погружённой поверхности. В уравнении Бернулли это одно из трёх слагаемых энергии единицы объёма.

Динамическое давление ρv²/2 — кинетическая энергия единицы объёма движущейся жидкости. Здесь ρ — плотность, а v — скорость потока. Этот термин показывает, какая часть энергии связана именно с движением жидкости, поэтому при увеличении скорости он возрастает.

Линия тока — линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости жидкости. Она показывает мгновенное направление движения частиц. Уравнение обычно сравнивает точки одной такой линии, потому что частицы перемещаются вдоль неё.

Как это устроено

Уравнение Бернулли связано с законом сохранения энергии. При движении частицы жидкости её энергия может переходить из одного вида в другой: давление ускоряет поток, скорость меняется из-за формы трубы, а подъём увеличивает потенциальную энергию. Если потери на трение отсутствуют, общий запас энергии сохраняется.

Каждое слагаемое имеет смысл энергии единицы объёма. Величина p связана с работой давления, ρv²/2 является кинетической составляющей, а ρgh — потенциальной составляющей в поле тяжести. Поэтому складывать их можно: у всех одинаковая размерность и единица измерения — паскаль.

Сумма сохраняется вдоль линии тока, потому что для идеальной жидкости не учитываются вязкость и превращение механической энергии во внутреннюю. Несжимаемость означает, что плотность ρ остаётся постоянной, а установившееся течение — что в каждой точке скорость и давление со временем не меняются. Если эти условия выполнены, уменьшение одного слагаемого компенсируется увеличением другого.

Для горизонтального потока высота одинакова, поэтому ρgh можно сократить: p + ρv²/2 = const. Если жидкость проходит через узкий участок, её скорость обычно возрастает, а динамическое давление увеличивается. Значит, статическое давление p уменьшается, чтобы сумма сохранилась.

При сравнении сечений на разной высоте записывают полное равенство: p₁ + ρv₁²/2 + ρgh₁ = p₂ + ρv₂²/2 + ρgh₂. Сначала нужно выбрать два сечения, единый нулевой уровень высоты и одинаковые единицы. Формула применима не к любому движению, а только при установившемся течении идеальной несжимаемой жидкости; заметное трение, турбулентность или источники энергии требуют дополнительных поправок.

Слагаемые уравнения Бернулли и их физический смысл

Таблица помогает быстро определить, какое изменение происходит с энергией жидкости в каждом сечении. При решении задачи сравнивают не отдельные величины, а их сумму. Если поток горизонтальный, строку ρgh можно не выписывать после проверки равенства высот.

Разбор задач

Задача 1

В горизонтальной трубе v₁ = 2 м/с, p₁ = 150 кПа, v₂ = 4 м/с, ρ = 1000 кг/м³. Требуется найти давление p₂. Так как труба горизонтальная, высоты сечений одинаковы.

1. Запишем уравнение: p₁ + ρv₁²/2 = p₂ + ρv₂²/2.
2. Выразим давление: p₂ = p₁ + ρ(v₁² − v₂²)/2.
3. Подставим значения: p₂ = 150 000 + 1000(4 − 16)/2 = 144 000 Па.

Ответ: p₂ = 144 кПа. Давление уменьшилось, потому что скорость выросла.

Задача 2

Во втором сечении вода находится на 3 м выше первого: h₂ − h₁ = 3 м. Даны v₁ = 2 м/с, v₂ = 3 м/с, p₁ = 200 кПа, ρ = 1000 кг/м³; принимаем g = 10 м/с². Нужно учесть одновременно ускорение потока и подъём.

1. Приравняем энергии: p₁ + ρv₁²/2 + ρgh₁ = p₂ + ρv₂²/2 + ρgh₂.
2. Выразим p₂: p₂ = p₁ + ρ(v₁² − v₂²)/2 − ρg(h₂ − h₁).
3. Получим p₂ = 200 000 + 1000(4 − 9)/2 − 1000·10·3 = 167 500 Па.

Ответ: p₂ = 167,5 кПа. Оба изменения уменьшают давление: вода ускоряется и поднимается.

Задача 3

В широкой части трубы S₁ = 12 см², v₁ = 1,5 м/с, p₁ = 180 кПа. В узкой части S₂ = 4 см², труба горизонтальна. Сначала найдём скорость во втором сечении, а затем применим уравнение Бернулли.

1. По уравнению неразрывности S₁v₁ = S₂v₂, поэтому v₂ = 12·1,5/4 = 4,5 м/с.
2. Для горизонтального потока p₂ = p₁ + ρ(v₁² − v₂²)/2.
3. При ρ = 1000 кг/м³: p₂ = 180 000 + 1000(2,25 − 20,25)/2 = 171 000 Па.

Ответ: p₂ = 171 кПа. Уменьшение площади в три раза увеличило скорость в три раза и снизило давление.

Типичные ошибки

Применение без проверки условий. Уравнение не описывает автоматически любое течение: нужны установившийся режим, несжимаемая идеальная жидкость и одна линия тока. Перед вычислениями перечислите эти условия и подумайте, можно ли пренебречь трением.

Утверждение, что скорость всегда уменьшает давление. Такой вывод относится к горизонтальному потоку, где высоты одинаковы. Если жидкость поднимается или опускается, учитывайте ρgh и сравнивайте все три слагаемых.

Смешение p и ρv²/2. Первое — давление жидкости, второе — динамическое давление, связанное с её движением; это разные физические величины. Проверьте формулу и смысл каждого члена, хотя оба результата должны быть выражены в паскалях.

Ошибки в единицах и множителе ρ. Метры, килограммы на кубический метр и секунды должны использоваться согласованно, а в ρgh плотность нельзя терять. Полезная проверка — убедиться, что каждый член имеет размерность давления.

Связь с другими темами

Для понимания уравнения Бернулли нужны понятия давления, плотности, скорости, кинетической и потенциальной энергии, а также закон сохранения энергии. При задачах с разными площадями сечения дополнительно используется уравнение неразрывности S₁v₁ = S₂v₂.

Формула применяется при изучении течения жидкостей и газов, работы водопроводов и распылителей. Она также помогает объяснить возникновение подъёмной силы крыла, хотя для реального потока приходится учитывать вязкость и сложную форму движения.

Что запомнить

• Уравнение Бернулли выражает сохранение энергии единицы объёма жидкости.
• Для двух точек одной линии тока: p₁ + ρv₁²/2 + ρgh₁ = p₂ + ρv₂²/2 + ρgh₂.
• Давление, динамическое давление и слагаемое ρgh измеряются в паскалях.
• В горизонтальном потоке увеличение скорости сопровождается уменьшением давления.
• Уравнение применяют к установившемуся течению идеальной несжимаемой жидкости.
• При решении задачи сначала выбери два сечения и запиши уравнение для каждого.