"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Уравнение состояния связывает давление, объём, абсолютную температуру и количество вещества газа. Для идеального газа оно записывается как pV = νRT, а через число молекул — как pV = NkT. Формула помогает описывать равновесное состояние газа, сравнивать его состояния и выводить законы изопроцессов. При неизменной массе газа величина pV/T постоянна, но при утечке или добавлении газа это соотношение применять напрямую нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Термодинамические параметры состояния — давление p, объём V и абсолютная температура T. Они однозначно характеризуют равновесное состояние данной порции газа, если количество газа не меняется. По этим величинам можно описать газ без отслеживания движения каждой молекулы.
Уравнение состояния — соотношение, связывающее параметры состояния газа и количество вещества. Для идеального газа оно позволяет найти неизвестную величину по остальным данным. Поэтому формула служит основным инструментом расчёта состояний газа.
Идеальный газ — модель, в которой размерами молекул и их взаимодействием вне столкновений пренебрегают. Такая модель достаточно хорошо описывает разреженные газы и упрощает объяснение их свойств. Она позволяет связать наблюдаемые величины с движением молекул.
Универсальная газовая постоянная R — физическая постоянная, связывающая параметры идеального газа с количеством вещества: R = 8,31 Дж/(моль·К). Её значение одинаково для любых идеальных газов. В уравнении она переводит количество молей и температуру в произведение pV.
Три параметра достаточно использовать потому, что равновесная порция газа имеет согласованные между собой давление, объём и температуру. Если задать количество газа и любые два из этих параметров, третий уже определяется физическими свойствами газа. Например, при заданных V и T давление не может быть произвольным: оно устанавливается движением молекул и столкновениями со стенками.
В молекулярно-кинетической теории давление объясняется ударами молекул о стенки сосуда. Для идеального газа расчёт средней кинетической энергии молекул приводит к связи pV = NkT, где N — число молекул, а k — постоянная Больцмана. Чем больше частиц или выше температура, тем сильнее воздействие на стенки при том же объёме.
Чтобы перейти от числа частиц к количеству вещества, используют постоянную Авогадро: N = νNₐ. Так как kNₐ = R, подстановка даёт pV = νRT. Эта запись удобнее в задачах, потому что количество вещества часто находят по массе и молярной массе: ν = m/M.
При постоянном количестве газа ν и R не меняются, поэтому из pV = νRT следует pV/T = const. Если температура постоянна, получаем pV = const — закон Бойля—Мариотта; при постоянном давлении V/T = const — закон Гей-Люссака; при постоянном объёме p/T = const — закон Шарля. Если газ выходит или добавляется, ν уже не постоянна, и формулу для двух состояний без поправок использовать нельзя.
График показывает изотермы: при каждой постоянной температуре давление обратно пропорционально объёму. Более высокая температура соответствует большему произведению pV, поэтому такая кривая располагается выше.
В таблице сначала указаны общие формы уравнения, а затем — соотношения для постоянного количества газа. Перед применением проверьте, какие величины неизменны и одинаковая ли порция газа рассматривается. Все числовые данные нужно привести к согласованным единицам.
| Форма записи | Условия применимости | Какие величины заданы или сравниваются | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| pV = νRT | Любое равновесное состояние идеального газа | p, V, T и количество вещества ν | Связь параметров состояния с количеством вещества |
| pV = NkT | Любое равновесное состояние; N — число молекул | p, V, T и число частиц N | Микроскопическая форма уравнения состояния |
| p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ | Одна и та же масса газа: ν = const | Сравниваются два состояния газа | Связь параметров двух состояний |
| pV = const | T = const и ν = const | Давление и объём | Изотермический процесс |
| V/T = const | p = const и ν = const | Объём и абсолютная температура | Изобарный процесс |
| p/T = const | V = const и ν = const | Давление и абсолютная температура | Изохорный процесс |
Определим давление 2 моль газа при T = 300 К и V = 0,050 м³. Газ считаем идеальным, поэтому используем pV = νRT. Неизвестно давление, значит, формулу нужно преобразовать к виду p = νRT/V.
Ответ: p ≈ 9,97 · 10⁴ Па, или примерно 100 кПа. Единицы согласованы с СИ, поэтому дополнительный перевод не требуется.
Одна и та же порция газа переходит из состояния p₁ = 100 кПа, V₁ = 4 л, T₁ = 300 К в состояние V₂ = 2 л, T₂ = 450 К. Количество вещества не меняется, поэтому применяем p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂. Нужно выразить новое давление.
Ответ: давление увеличится до 300 кПа, то есть в три раза. Объём уменьшился вдвое, а температура выросла в 1,5 раза, поэтому оба изменения усилили рост давления.
Дано m = 16 г, T = 300 К, p = 200 кПа и V = 10 л; требуется найти молярную массу M. Используем pV = νRT и ν = m/M. После подстановки получаем pV = mRT/M, откуда M = mRT/(pV).
Ответ: молярная масса газа примерно 20 г/моль. Перевод в граммы на моль удобен для сравнения с табличными значениями.
Температуру иногда подставляют в градусах Цельсия, потому что бытовая шкала привычнее. Но в уравнении нужна абсолютная температура: T = t + 273,15. Проверьте себя: температура в формуле не может быть отрицательной для обычных задач и обязательно записывается в кельвинах.
Формулу p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ применяют даже при утечке газа. Ошибка возникает из-за того, что не проверяют постоянство количества вещества. Перед использованием спросите, одна ли масса газа сравнивается в обоих состояниях.
Литры, килопаскали и граммы подставляют без перевода в СИ. Тогда результат может отличаться от правильного в тысячу или миллион раз. Проверяйте единицы: V — м³, p — Па, m — кг, а M — кг/моль.
Количество вещества ν путают с числом молекул N или массой m. Эти величины различны и связаны формулами ν = m/M и N = νNₐ. Чтобы не ошибиться, выпишите рядом обозначение и единицу каждой известной величины.
Для понимания уравнения состояния нужны давление, объём и абсолютная температура, а также количество вещества и число Авогадро. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории объясняет, откуда появляется связь pV = NkT. Без различия между молями и числом частиц легко перепутать формы записи.
Уравнение состояния используют при изучении изопроцессов и газовых законов. Оно помогает сравнивать начальное и конечное состояния газа, если известны условия перехода. На его основе решают задачи на давление, объём, температуру и массу газа.
Далее эта модель нужна для вывода уравнений термодинамики. Через параметры состояния можно анализировать работу газа при расширении или сжатии. Поэтому формула связывает молекулярную физику с изучением тепловых процессов.
Почему в уравнение состояния нельзя подставлять температуру в градусах Цельсия?
Уравнение использует абсолютную температуру, отсчитываемую от абсолютного нуля, поэтому нужна шкала Кельвина. Перевод выполняют по формуле T = t + 273,15.
Чем уравнение состояния отличается от закона Бойля—Мариотта?
Уравнение состояния pV = νRT связывает давление, объём, температуру и количество вещества в любом равновесном состоянии. Закон Бойля—Мариотта pV = const является частным случаем для постоянных температуры и количества газа.
Можно ли использовать формулу p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂, если газ выходит из сосуда?
Нет, если из-за выхода газа количество вещества меняется. В таком случае нужно применять уравнение pV = νRT отдельно для каждого состояния и учитывать разные значения ν.
Почему в уравнении состояния появляются одновременно R и количество вещества ν?
R — постоянная, одинаковая для всех идеальных газов, а ν показывает, сколько молей газа содержится в системе. Их произведение определяет, насколько велико произведение pV при данной температуре.
Как выбрать между формулами pV = νRT и pV = NkT?
Форму pV = νRT выбирают, когда известно количество вещества в молях или масса и молярная масса. Форму pV = NkT удобно использовать, если дано непосредственно число молекул.
§ 3.3. Уравнение состояния
