"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Искривлённая поверхность жидкости создаёт разность давлений по обе стороны границы. Причина — поверхностное натяжение, сила которого направлена вдоль поверхности и стремится изменить её форму. Разность давлений зависит от коэффициента поверхностного натяжения и кривизны: чем меньше радиус поверхности, тем она больше. Для капли она равна 2σ/R, а для мыльного пузыря с двумя поверхностями — 4σ/R.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Искривлённая поверхность жидкости — поверхность, которая в рассматриваемой области не является плоской. Она может быть выпуклой, вогнутой или иметь более сложную форму. Её описание нужно для определения того, как поверхностное натяжение изменяет давление.
Радиусы кривизны — радиусы сфер, которыми приближённо описывают изгиб поверхности в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Их обозначают R₁ и R₂. По этим величинам находят кривизну и подставляют её в формулу давления.
Поверхностное натяжение — свойство поверхности жидкости, характеризуемое коэффициентом σ. Единица σ — Н/м, или Дж/м². Поверхностное натяжение создаёт силы вдоль границы и поэтому участвует в возникновении дополнительного давления.
Лапласово давление — разность давлений по разные стороны искривлённой поверхности. Она появляется из-за поверхностного натяжения и зависит от кривизны. Обычно эту разность обозначают Δp и называют избыточным давлением, если сравнивают давление внутри с внешним.
У плоской поверхности силы поверхностного натяжения на противоположных участках направлены так, что их поперечные составляющие компенсируют друг друга. Поэтому сама плоскость не требует дополнительного перепада давлений. У искривлённой поверхности направления сил уже не параллельны, и их результирующая не исчезает. Для равновесия ей нужна сила давления, направленная противоположно.
Рассмотрим небольшой участок искривлённой поверхности, окружённый замкнутой границей. Поверхностное натяжение действует по всей этой границе и стремится стянуть участок. Давление с одной и другой стороны действует на сам участок в противоположных направлениях. Равновесие возможно только тогда, когда разность этих сил давления компенсирует силу поверхностного натяжения.
Изгиб поверхности может быть разным в двух взаимно перпендикулярных направлениях, поэтому учитываются два радиуса R₁ и R₂. При выбранном соглашении о знаках формула Лапласа имеет вид Δp = σ(1/R₁ + 1/R₂). Знак показывает направление перепада, а по модулю для выпуклой поверхности давление обычно больше со стороны жидкости. Если изменить, какое давление вычитать из какого, знак изменится, но физическая разность останется той же.
Для сферы оба радиуса кривизны одинаковы: R₁ = R₂ = R. Тогда Δp = σ(1/R + 1/R) = 2σ/R. Радиус стоит в знаменателе, потому что при меньшем R поверхность сильнее искривлена и результирующая сила поверхностного натяжения на единицу площади больше. Поэтому маленькие капли выдерживают большее избыточное давление.
У обычной капли есть одна граница между жидкостью и газом, поэтому её избыточное давление равно 2σ/R. Мыльный пузырь представляет собой тонкую плёнку, у которой есть наружная и внутренняя поверхности. Каждая поверхность даёт вклад 2σ/R, поэтому внутри пузыря давление выше внешнего на 4σ/R.
| Форма поверхности | Радиусы кривизны | Разность давлений | Где давление больше |
|---|---|---|---|
| Плоская поверхность | R₁ = ∞, R₂ = ∞ | Δp = 0 | Дополнительного перепада нет |
| Сферическая поверхность жидкости | R₁ = R₂ = R | Δp = 2σ/R | Со стороны жидкости |
| Сферическая поверхность мыльного пузыря с двумя границами | Две поверхности, на каждой R₁ = R₂ = R | Δp = 4σ/R | Внутри пузыря |
| Цилиндрическая поверхность | R₁ = R, R₂ = ∞ | Δp = σ/R | Со стороны жидкости |
Сначала определите форму поверхности и число границ плёнки, затем найдите радиусы кривизны. После этого выберите соответствующую строку и проверьте, какая сторона указана как область большего давления. Для вогнутой поверхности направление перепада может быть противоположным, поэтому знак нужно связывать с выбранным порядком вычитания давлений.
Условие. Капля воды имеет радиус R = 1 мм, коэффициент поверхностного натяжения σ = 0,072 Н/м. Найдём разность давлений внутри капли и снаружи.
Ответ: давление внутри капли больше наружного на 144 Па. Если в условии радиус дан другой величиной, меняется только подстановка в ту же формулу.
Условие. Радиус мыльного пузыря R = 2 мм, коэффициент поверхностного натяжения раствора σ = 0,025 Н/м. Требуется вычислить давление внутри пузыря сверх наружного.
Ответ: избыточное давление внутри пузыря равно 50 Па. Давление внутри больше давления снаружи.
Условие. Для капли измерили разность давлений Δp. Найдём её радиус, а затем сравним с радиусом второй капли из той же жидкости, если её разность давлений вдвое больше.
Ответ: радиус первой капли равен 2σ/Δp, а радиус второй в два раза меньше. Обратная зависимость объясняет, почему большая разность давлений соответствует более малой капле.
Иногда в формулу подставляют R вместо 1/R. Так делают из-за невнимательности к знаменателю, но размерность сразу выдаёт ошибку: σ/R имеет единицу Н/м², то есть паскаль. Проверяйте размерность результата перед вычислением.
Для мыльного пузыря нередко используют 2σ/R, забывая о двух поверхностях плёнки. Причина ошибки — пузырь мысленно принимают за обычную каплю. Проверьте, сколько границ жидкость–газ создаёт поверхностное натяжение.
Ещё одна ошибка — подстановка диаметра вместо радиуса. Формулы записаны через R, а диаметр вдвое больше: R = d/2. Перед решением выпишите отдельно величину радиуса и переведите её в метры.
Нельзя указывать только знак Δp без объяснения. Сначала запишите, например, Δp = pвнутри − pснаружи, а затем сообщите, где давление больше. Для выпуклой капли это давление внутри, но при другом порядке вычитания знак изменится.
До изучения темы нужно знать давление, силу поверхностного натяжения и коэффициент поверхностного натяжения. Эти понятия позволяют понять, почему сила вдоль границы превращается в перепад давлений.
Формула Лапласа нужна для объяснения капиллярных явлений, формы капель и пузырьков. Она также помогает анализировать различие давлений по разные стороны мениска — искривлённой поверхности жидкости в узком сосуде.
Почему давление под искривлённой поверхностью отличается от давления над ней?
Поверхностное натяжение действует вдоль границы жидкости и на искривлённой поверхности имеет результирующую силу, направленную к центру кривизны. Эту силу уравновешивает разность давлений, поэтому давление с одной стороны становится больше.
Почему радиус капли влияет на разность давлений?
В формуле Лапласа радиус находится в знаменателе: Δp = 2σ/R. Поэтому при одинаковой жидкости маленькая капля имеет большую кривизну и большую разность давлений.
Почему для мыльного пузыря формула отличается от формулы для капли?
У капли есть одна граница жидкость–газ, а у мыльного пузыря — две: наружная и внутренняя поверхности плёнки. Каждая поверхность создаёт вклад 2σ/R, поэтому для пузыря получается Δp = 4σ/R.
Как понять, с какой стороны поверхности давление больше?
Для выпуклой поверхности жидкости давление больше со стороны жидкости, то есть внутри капли или пузыря. Всегда сначала задайте разность как Δp = p₁ − p₂ и подпишите, какие стороны обозначают p₁ и p₂.
Как использовать формулу Лапласа, если известен диаметр, а не радиус?
Сначала разделите диаметр на два: R = d/2. Затем подставьте найденный радиус в формулу, например Δp = 2σ/R для капли или Δp = 4σ/R для мыльного пузыря.
§ 7.6. Давление под искривленной поверхностью жидкости
