§ 8.2. Кристаллическая решетка

Определения и обозначения

Кристаллическая решётка — упорядоченное периодическое расположение частиц, из которых построен кристалл. Иными словами, одни и те же положения повторяются в пространстве по определённому правилу. Такая модель помогает описывать строение твёрдого тела без изображения каждой частицы по отдельности.

Узел кристаллической решётки — положение частицы или группы частиц, которое повторяется в пространстве по определённому закону. Узел не обязательно означает пустую точку: он показывает место, где находится частица или устойчивая группа частиц. По расположению узлов можно представить порядок строения кристалла.

Элементарная ячейка — наименьший фрагмент решётки, многократным повторением которого можно получить всю кристаллическую структуру. Её границы выбирают так, чтобы повторение фрагмента точно воспроизводило расположение частиц. По ячейке удобно находить расстояния между частицами и считать их число в заданном объёме.

Анизотропия кристалла — зависимость физических свойств кристалла от выбранного направления. Например, механические, тепловые или оптические свойства могут измеряться по-разному вдоль разных направлений. Понятие анизотропии нужно, чтобы связать наблюдаемые свойства с упорядоченным строением вещества.

Как это устроено

Частицы твёрдого тела взаимодействуют друг с другом: при одних расстояниях они притягиваются, а при чрезмерном сближении резко отталкиваются. Поэтому для каждой частицы существует расстояние, при котором силы уравновешиваются и потенциальная энергия минимальна. Частицы не застывают неподвижно, но колеблются около таких устойчивых положений равновесия. В кристалле эти положения образуют закономерную структуру, поскольку взаимодействие распространяется на множество частиц.

Когда расположение частиц повторяется вдоль одного направления, возникает периодичность по этой линии. В настоящем кристалле повторение происходит сразу в трёх направлениях, поэтому одинаковые положения узлов заполняют объём. Промежутки повторения называют периодами решётки; вместе они задают её пространственную геометрию. Благодаря такому правилу можно предсказать положение частиц далеко от выбранного фрагмента.

Вместо того чтобы описывать весь кристалл, выделяют элементарную ячейку и задают её размеры, форму и расположение частиц. Повторяя ячейку в трёх направлениях, получают модель всего тела. Расстояния между частицами можно определить по геометрии ячейки и координатам частиц в ней. При подсчёте нужно помнить, что частицы на границе ячейки могут одновременно принадлежать соседним ячейкам.

Вид решётки зависит от природы частиц и сил, которые удерживают их вместе. Ионы притягиваются благодаря электрическим силам, атомы могут соединяться прочными ковалентными связями, а молекулы удерживаются сравнительно слабым взаимодействием. В металлах особая связь возникает между положительными ионами и общими для кристалла свободными электронами. Именно различие частиц и взаимодействий приводит к разным структурам и свойствам веществ.

Упорядоченность кристалла может быть неодинаковой вдоль разных направлений: меняются расстояния между частицами и характер связей, а вместе с ними — физические свойства. Такая зависимость от направления называется анизотропией. Аморфные тела, например стекло, не имеют дальнего периодического порядка, хотя частицы в них тоже взаимодействуют и сохраняют ближнее окружение. Поэтому их свойства обычно не выделяют определённое направление и считаются изотропными.

Типы кристаллических решёток

Чтобы определить тип решётки, сначала выясните, какие частицы образуют её узлы, а затем установите, какое взаимодействие их удерживает. Свойства в последнем столбце помогают проверить вывод, но не заменяют анализа строения вещества. Например, хрупкость соли объясняется ионной решёткой, а проводимость металлов — наличием свободных электронов.

Разбор задач

Задача 1. Определите тип решётки поваренной соли, алмаза, меди и льда по частицам, расположенным в узлах. Чтобы не угадывать тип по одному свойству, сопоставим состав частиц с определениями четырёх решёток. Затем проверим получившиеся названия по характерным взаимодействиям. Это позволяет отличить вещества даже тогда, когда их внешние свойства похожи.

1. В поваренной соли узлы образуют положительные и отрицательные ионы натрия и хлора. Значит, решётка ионная.
2. В алмазе узлы связаны с атомами углерода, соединёнными прочными ковалентными связями. Это атомная решётка.
3. Медь относится к металлам: её строение описывают положительными ионами металла и свободными электронами. Следовательно, решётка металлическая.
4. Лёд состоит из молекул воды, поэтому его решётка молекулярная.

Ответ: поваренная соль — ионная решётка, алмаз — атомная, медь — металлическая, лёд — молекулярная. Название определяется частицами и взаимодействием, а не только агрегатным состоянием вещества. Так, лёд твёрдый, но его узлы образованы молекулами.

Задача 2. В простой кубической ячейке частицы находятся только в вершинах куба. Нужно найти, сколько частиц приходится на одну ячейку. На первый взгляд их восемь, но это число описывает вершины, а не долю частиц, принадлежащую одному кубу. Поэтому учитываем соседние ячейки.

1. У куба восемь вершин, и в каждой расположена частица.
2. Каждая вершина является общей для восьми кубических ячеек, поэтому в одну ячейку приходится ⅛ частицы с каждой вершины.
3. Складываем вклады: N = 8 · ⅛ = 1.

Ответ: на одну элементарную ячейку приходится одна частица. Проверка состоит в том, чтобы разделить вклад каждой граничной частицы между всеми ячейками, которым она принадлежит. Нельзя считать каждую вершину целиком только для одного куба.

Задача 3. Найдите плотность кристалла, если в кубической ячейке находится N частиц массой m каждая, а период решётки равен a. Плотность — это масса, делённая на объём, поэтому сначала отдельно найдём массу ячейки и её геометрический объём. Здесь N должно быть числом частиц, уже подсчитанным с учётом их долей на границах.

1. Масса всех частиц, приходящихся на ячейку, равна mяч = Nm.
2. Период a — ребро кубической ячейки, следовательно, её объём Vяч = a³.
3. Подставляем эти величины в формулу плотности: ρ = mяч/Vяч = Nm/a³.

Ответ: ρ = Nm/a³. Если значения N, m и a даны в задаче, их нужно подставить в согласованных единицах СИ, чтобы получить плотность в кг/м³. Перед расчётом проверьте, что число частиц N относится именно к одной ячейке.

Типичные ошибки

Считать узлы пустыми точками. Такая ошибка возникает, когда схему решётки принимают за буквальное изображение вещества. Узел задаёт положение частицы или устойчивой группы частиц, хотя сам знак на схеме нужен для обозначения места. Проверьте себя: спросите, что именно находится в узле у данного типа решётки.

Путать ячейку с частицей. Ячейка не является отдельным атомом или молекулой: это фрагмент структуры, который повторяют для описания кристалла. Путаница появляется из-за того, что ячейку рисуют как небольшой куб или параллелепипед. Для проверки определите, что повторяется в пространстве: геометрический фрагмент, а не один его элемент.

Учитывать граничную частицу целиком. Частицу на границе часто записывают как принадлежащую одной ячейке, хотя её делят соседние ячейки. Так теряется смысл подсчёта именно приходящихся на ячейку частиц. Проверьте, скольким ячейкам принадлежит положение: вершину куба, например, делят восемь ячеек, и её вклад равен ⅛.

Считать, что все твёрдые тела имеют решётку. Это неверно, потому что твёрдое состояние само по себе не гарантирует дальнего порядка. Такое предположение возникает, если не различать кристаллы и аморфные тела. Проверьте себя: выясните, повторяется ли расположение частиц закономерно на больших расстояниях; у аморфных тел дальнего периодического порядка нет.

Связь с другими темами

Для изучения решёток нужны представления о строении вещества и взаимодействии частиц, а также различие между кристаллами и аморфными телами. Строение кристалла помогает объяснять его механические, тепловые, электрические и оптические свойства. Та же модель используется при изучении дефектов решётки, теплового расширения, проводимости и свойств полупроводников. Поэтому понятие ячейки связывает описание частиц с наблюдаемыми свойствами материала.

Что запомнить

• Кристаллическая решётка описывает периодическое расположение частиц в кристалле.
• Узлы решётки повторяются в пространстве через определённые промежутки.
• Элементарная ячейка — минимальный повторяющийся фрагмент кристаллической структуры.
• Тип решётки определяется частицами в узлах и характером связи между ними.
• Различают ионные, атомные, молекулярные и металлические решётки.
• Кристаллы могут обладать разными свойствами в разных направлениях.
• Аморфные тела не имеют дальнего периодического порядка.