§ 69. Кристаллическая решётка

Определения и обозначения

Кристаллическая решётка — упорядоченное, периодически повторяющееся расположение частиц в кристалле. Это модель, которая позволяет увидеть внутреннюю структуру твёрдого тела не как случайный набор частиц, а как закономерную систему. С её помощью связывают строение вещества с его физическими свойствами.

Узел кристаллической решётки — положение, в котором в идеальной модели находится частица или группа частиц. Узлы не обязательно заняты отдельными атомами: в них могут располагаться ионы или молекулы. Понятие узла нужно, чтобы описывать повторяющийся порядок, не прорисовывая каждую частицу отдельно.

Элементарная ячейка — наименьшая часть решётки, многократным переносом которой можно воспроизвести всю кристаллическую структуру. Ячейка может иметь форму куба или другого многогранника, а частицы на её границах принадлежат сразу нескольким ячейкам. Поэтому при подсчёте частиц учитывают только их долю.

Анизотропия кристалла — зависимость физических свойств кристалла от выбранного направления. Например, прочность или теплопроводность могут быть различными вдоль разных осей. Такое свойство возникает из-за упорядоченного, но не одинакового во всех направлениях расположения частиц и связей.

Как это устроено

Устойчивое расположение частиц возникает из-за совместного действия притяжения и отталкивания. На больших расстояниях притяжение сближает частицы, а при слишком малом расстоянии резко возрастает отталкивание электронных оболочек и ядер. Равновесие наступает там, где эти взаимодействия компенсируют друг друга, поэтому частицы занимают определённые положения относительно соседей.

Кристаллическая структура повторяется потому, что одинаковые частицы взаимодействуют по одним и тем же законам. Если выбрать элементарную ячейку и перенести её на расстояние, равное периоду решётки, соседние частицы займут такие же относительные положения. Повторяя перенос в трёх измерениях, можно описать весь идеальный кристалл одной небольшой ячейкой.

Тип решётки определяется тем, какие частицы образуют узлы и как они связаны. В ионной решётке притягиваются положительные и отрицательные ионы, в атомной атомы соединены прочными связями, а в молекулярной узлы занимают целые молекулы. В металлической решётке положительные ионы удерживаются общей системой свободных электронов, поэтому строение металла отличается от строения соли или льда.

Частицы в узлах не остаются неподвижными даже в твёрдом теле. Тепловая энергия заставляет их колебаться около положений равновесия, а соседние связи не дают им удалиться далеко. При нагревании колебания становятся сильнее; если энергия становится достаточно большой, порядок решётки разрушается и кристалл плавится.

Упорядоченное строение приводит к анизотропии, потому что вдоль разных направлений проходят разные цепочки частиц и связей. Одни направления могут быть более плотно заполнены или иметь более прочные связи, чем другие. Поэтому механические, тепловые и электрические свойства кристалла иногда зависят от направления измерения, тогда как у аморфных тел такая зависимость обычно слабее.

Типы кристаллических решёток и их свойства

Таблицу удобно читать по строкам: один признак сравнивает все четыре типа решёток. При определении неизвестного вещества сначала выясняют, какие частицы находятся в узлах и какая связь их удерживает. Затем по этим признакам можно предположить его прочность, проводимость и способность к деформации.

Разбор задач

Задача 1. Определение типа решётки

Распределим медь, поваренную соль, алмаз и лёд по типам решёток и укажем частицы в узлах. Решение основано не на внешнем виде вещества, а на составе частиц и характере связи между ними.

1. Медь — металл. В металлической решётке положительные ионы расположены среди свободных электронов.
2. Поваренная соль состоит из ионов Na⁺ и Cl⁻, поэтому её решётка ионная; в узлах находятся положительные и отрицательные ионы.
3. Алмаз образован атомами углерода, связанными в прочную пространственную сеть. Значит, его решётка атомная, а в узлах находятся атомы.
4. Лёд состоит из молекул H₂O, между которыми действуют межмолекулярные силы. Это молекулярная решётка, и в её узлах расположены молекулы воды.

Ответ: медь — металлическая, соль — ионная, алмаз — атомная, лёд — молекулярная решётка.

Задача 2. Частицы в элементарной ячейке

В кубической ячейке частицы находятся в восьми вершинах и в центре куба. Нужно найти число частиц, приходящееся на одну ячейку, учитывая общность вершин.

1. Каждая вершина принадлежит восьми соседним кубам, поэтому от одной вершины учитывается 1/8 частицы.
2. Восемь вершин дают 8 · 1/8 = 1 частицу.
3. Центральная частица находится только внутри данной ячейки и учитывается полностью: 1 частица.
4. Складываем вклады: 1 + 1 = 2 частицы.

Ответ: на одну ячейку приходится 2 частицы.

Задача 3. Сравнение кубических ячеек

Сравним простую кубическую, объёмно-центрированную и гранецентрированную ячейки. В простой кубической ячейке частицы только в вершинах, в объёмно-центрированной есть ещё одна частица в центре куба, а в гранецентрированной — по частице в центре каждой грани.

1. Простая ячейка: 8 · 1/8 = 1 частица.
2. Объёмно-центрированная ячейка: 8 · 1/8 + 1 = 2 частицы.
3. Гранецентрированная ячейка: 8 · 1/8 + 6 · 1/2 = 1 + 3 = 4 частицы.
4. У гранецентрированной структуры координационное окружение наиболее плотное: у каждой частицы 12 ближайших соседей, тогда как у простой ячейки их 6, а у объёмно-центрированной — 8.

Ответ: простая ячейка содержит 1 частицу, объёмно-центрированная — 2, гранецентрированная — 4. Наиболее плотную упаковку из этих трёх обеспечивает гранецентрированная структура.

Типичные ошибки

Частицу в вершине иногда считают полностью принадлежащей одной ячейке. Ошибка возникает, если забыть, что вершина общая для восьми кубов; проверка проста: нужно разделить её вклад между всеми соседними ячейками.

Узлы решётки ошибочно связывают только с атомами. На самом деле в них могут находиться ионы или молекулы, поэтому сначала определите состав и тип связи вещества.

Некоторые считают частицы неподвижными, потому что кристалл сохраняет форму. В действительности частицы колеблются около узлов; это можно проверить по зависимости этих колебаний от температуры.

Изотропность аморфных тел иногда переносят на кристаллы. Чтобы не ошибиться, сравните направления в структуре: если связи и плотность упаковки различаются, свойства также могут быть направленными.

Связь с другими темами

До изучения решёток нужны представления о строении атома и молекулы, силах взаимодействия частиц, тепловом движении и агрегатных состояниях вещества. Эти знания объясняют, почему частицы занимают устойчивые положения и почему твёрдое тело сохраняет форму.

Дальше понятие решётки используется при изучении механических свойств твёрдых тел, деформаций, теплового расширения и электропроводности. Оно особенно важно для понимания строения и работы полупроводников.

В химии и материаловедении тип связи и структура решётки связывают состав вещества с его применением. Например, высокая твёрдость алмаза, проводимость меди и хрупкость соли обусловлены их внутренним строением.

Что запомнить

• Кристаллическая решётка — периодическая модель расположения частиц в кристалле.
• Узлы решётки соответствуют положениям равновесия частиц.
• Вся решётка может быть построена повторением элементарной ячейки.
• В кристаллах частицы колеблются около узлов, а не покоятся.
• Различают ионные, атомные, молекулярные и металлические решётки.
• Кристаллы обычно обладают анизотропией физических свойств.
• Число частиц в ячейке рассчитывают с учётом доли частиц, расположенных на её границах.