§ 70. Механические свойства твёрдых тел

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы и/или размеров тела под действием внешних сил. Растяжение и сжатие меняют длину, изгиб искривляет тело, сдвиг смещает слои, а кручение поворачивает их относительно друг друга. Такое различие нужно, чтобы выбрать подходящую модель нагрузки.

Упругая деформация — деформация, исчезающая после прекращения действия силы. Частицы тела возвращаются к прежнему взаимному расположению, поэтому исходная форма восстанавливается. Понятие помогает определить область безопасной работы детали.

Пластическая деформация сохраняется после снятия внешней силы. Например, согнутая металлическая скрепка или смятая пластилиновая фигурка уже не принимают прежнюю форму. Остаточное изменение показывает, что предел упругости был превышен.

Механическое напряжение — отношение силы упругости к площади поперечного сечения: σ = F/S. Напряжение показывает, какая сила приходится на единицу площади, и измеряется в паскалях: 1 Па = 1 Н/м². Оно позволяет сравнивать нагрузку на детали разного размера.

Как это устроено

Внешняя сила стремится изменить взаимное расположение частиц твёрдого тела. Частицы связаны силами взаимодействия, поэтому при смещении возникают внутренние силы упругости, направленные против деформации. Равновесие наступает, когда внутреннее сопротивление уравновешивает внешнюю нагрузку.

При небольшой нагрузке смещения частиц невелики и после её снятия связи возвращают частицы почти к прежним положениям. Если нагрузка возрастает, часть связей может перестроиться необратимо. Поэтому после превышения предела упругости тело сохраняет остаточную деформацию.

Для прямого однородного стержня при растяжении или сжатии изменение длины сравнивают с первоначальной длиной: ε = Δl/l₀. Эта величина называется относительным удлинением и не имеет единицы измерения. Деление на исходную длину позволяет сопоставлять стержни разных размеров.

В упругой области относительное удлинение пропорционально напряжению: σ = Eε. Коэффициент E — модуль Юнга; он зависит от вещества и показывает, насколько материал сопротивляется изменению длины. При одинаковом напряжении материал с большим E деформируется слабее.

На диаграмме зависимости σ от ε начальный прямой участок соответствует упругой деформации: его наклон связан с модулем Юнга. Далее график может отклоняться от прямой, что указывает на переход к пластической области, а при дальнейшем растяжении напряжение иногда уменьшается перед разрушением. Точный вид кривой и значения пределов определяются материалом.

Виды механической деформации

Сначала определите, какая часть тела перемещается и относительно чего, а затем сопоставьте ситуацию со вторым столбцом. Последний столбец помогает понять направление и характер действующей нагрузки. В реальных конструкциях несколько видов деформации могут возникать одновременно.

Разбор задач

Задача 1. Относительное удлинение

Стержень длиной 2 м удлинился на 1 мм. Требуется найти относительное удлинение ε. В формуле ε = Δl/l₀ обе длины должны быть выражены в одинаковых единицах.

1. Переводим удлинение: 1 мм = 0,001 м.
2. Подставляем данные: ε = 0,001 м / 2 м.
3. Получаем ε = 0,0005 = 5 · 10⁻⁴.

Ответ: ε = 5 · 10⁻⁴. Величина безразмерна, а при записи в процентах равна 0,05 %. Малое значение означает, что изменение длины невелико по сравнению с исходной длиной.

Задача 2. Механическое напряжение

К стержню площадью поперечного сечения 2 мм² приложена сила 100 Н. Нужно найти напряжение σ, поэтому используем σ = F/S. Площадь необходимо перевести из квадратных миллиметров в квадратные метры.

1. Так как 1 мм = 10⁻³ м, то 2 мм² = 2 · 10⁻⁶ м².
2. Вычисляем σ = 100 Н / (2 · 10⁻⁶ м²).
3. Получаем σ = 5 · 10⁷ Па = 50 МПа.

Ответ: σ = 5 · 10⁷ Па, или 50 МПа. При той же силе уменьшение площади сечения увеличило бы напряжение. Поэтому тонкие детали требуют особенно внимательной проверки прочности.

Задача 3. Модуль Юнга

Проволока длиной 1,5 м и площадью сечения 1 мм² под действием силы 80 Н удлинилась на 6 мм. Требуется определить E по формуле E = σ/ε. Сначала отдельно найдём относительное удлинение и напряжение.

1. Переводим данные: Δl = 0,006 м, S = 1 · 10⁻⁶ м².
2. Находим ε = 0,006/1,5 = 0,004, а σ = 80/(1 · 10⁻⁶) = 8 · 10⁷ Па.
3. Вычисляем E = (8 · 10⁷ Па)/0,004 = 2 · 10¹⁰ Па.

Ответ: E = 2 · 10¹⁰ Па, или 20 ГПа. Единица модуля Юнга — паскаль, как и у напряжения. Расчёт имеет смысл, если деформация находится в упругой области.

Типичные ошибки

Путают силу и напряжение. Сила измеряется в ньютонах, а напряжение учитывает ещё и площадь: σ = F/S. Для проверки выпишите единицы и спросите себя, сравниваются ли нагрузки на одинаковые сечения.

Смешивают единицы. Подстановка миллиметров и квадратных миллиметров вместе с метрами даёт ошибочный результат. Перед вычислением переведите длину в метры, а площадь — в м², затем оцените порядок ответа.

Применяют закон Гука при любой нагрузке. Формула σ = Eε работает только в упругой области, где график остаётся линейным. Проверьте, не превышен ли предел упругости и не появилась ли остаточная деформация.

Путают упругую и пластическую деформации. Причина ошибки — внимание только к моменту действия силы, а не к результату после её снятия. Мысленно уберите нагрузку: восстановление формы означает упругую деформацию, сохранение изменения — пластическую.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия силы, площади, длины и единиц измерения, а также закон Гука для пружины. Здесь тот же общий принцип связывает нагрузку и деформацию, но вместо жёсткости конкретной пружины используется характеристика материала — модуль Юнга.

Напряжение и модуль Юнга применяются при изучении упругости материалов и прочности конструкций. С их помощью рассчитывают допустимые нагрузки и оценивают, насколько изменятся размеры деталей в машинах, зданиях и приборах.

Что запомнить

• Деформация — изменение формы или размеров тела.
• Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки, пластическая — сохраняется.
• Механическое напряжение σ = F/S измеряется в паскалях.
• Относительное удлинение ε = Δl/l₀ не имеет единиц измерения.
• В области упругой деформации для стержня σ = Eε.
• Модуль Юнга зависит от материала и характеризует его сопротивление деформации.