§ 25. Механические свойства твердых тел

Определения и обозначения

Деформация — изменение формы или размеров тела под действием внешних сил. Упругая деформация исчезает после снятия нагрузки, а пластическая сохраняется. Это различие показывает, можно ли использовать тело повторно без остаточного изменения.

Механическое напряжение — внутренняя сила упругости, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения: σ = F/S. Здесь F — сила, а S — площадь сечения. Напряжение позволяет сравнивать нагрузку на детали разного размера и измеряется в паскалях.

Относительная деформация — отношение изменения размера тела к его первоначальному размеру: ε = Δl/l₀. Для растяжения Δl — удлинение, а l₀ — начальная длина. Величина ε безразмерна, поэтому по ней удобно сравнивать деформации коротких и длинных тел.

Модуль Юнга — характеристика упругости материала, равная отношению напряжения к относительной деформации в области закона Гука: E = σ/ε. Большое значение E означает, что материал трудно растянуть или сжать. Эта величина помогает выбирать материалы для конструкций и деталей.

Как это устроено

Внешняя сила немного смещает частицы твёрдого тела относительно их положений равновесия. Расстояния между частицами изменяются, поэтому меняются форма или размеры тела. Частицы начинают сильнее притягиваться или отталкиваться, и внутри возникает сила упругости, направленная против деформации.

При растяжении силы направлены от тела и увеличивают расстояние между его частями, а при сжатии направлены к телу и сближают их. Сдвиг возникает, когда параллельные слои смещаются друг относительно друга. Вид деформации определяется тем, как приложены силы и в каком направлении они действуют.

Изгиб обычно сочетает растяжение одних слоёв тела со сжатием других, поэтому балка может искривиться. При кручении сечения поворачиваются вокруг продольной оси, как у вала или отвёртки. В реальных деталях несколько видов деформации нередко происходят одновременно.

При одной и той же силе тонкое тело испытывает большее напряжение, потому что площадь его сечения меньше. Поэтому в формуле σ = F/S учитывают не только нагрузку, но и размеры детали. Относительная деформация устраняет зависимость от первоначальной длины и позволяет честно сравнивать разные образцы.

При малых деформациях смещения частиц невелики, и сила упругости возрастает почти пропорционально деформации. Поэтому выполняется закон Гука: σ = Eε, а наклон прямого участка диаграммы равен модулю Юнга. При дальнейшем растяжении связь перестаёт быть линейной: начинается пластическая область, затем возможны упрочнение, образование шейки и разрушение. Пластичный материал успевает сильно изменить форму, а хрупкий разрушается почти сразу после окончания упругого участка.

Виды деформаций и механические свойства твердых тел

Сначала определите, как приложены силы и какие части тела перемещаются, а затем выберите строку с соответствующим видом деформации. Свойства упругости, пластичности и хрупкости описывают уже не направление воздействия, а поведение материала при нагрузке. Для расчётов особенно важны напряжение, относительная деформация и область применимости закона Гука.

Разбор задач

Задача 1

К стержню с площадью поперечного сечения 2 см² приложена сила растяжения 600 Н. Требуется определить механическое напряжение. В формуле σ = F/S площадь должна быть выражена в квадратных метрах, потому что напряжение ищут в паскалях.

1. Переведём площадь: 2 см² = 2·10⁻⁴ м².
2. Подставим данные: σ = 600/(2·10⁻⁴) Па.
3. Получим σ = 3·10⁶ Па = 3 МПа.

Ответ: механическое напряжение равно 3 МПа. Чем меньше площадь сечения при той же силе, тем больше было бы напряжение.

Задача 2

Проволока длиной 2 м и площадью сечения 1 мм² растянута силой 100 Н; модуль Юнга равен 2·10¹¹ Па. Нужно найти удлинение Δl. Используем цепочку формул: сначала найдём напряжение, затем относительную деформацию и только после этого удлинение.

1. Площадь: S = 1 мм² = 10⁻⁶ м², поэтому σ = 100/10⁻⁶ = 10⁸ Па.
2. По закону Гука ε = σ/E = 10⁸/(2·10¹¹) = 5·10⁻⁴.
3. Удлинение Δl = εl₀ = 5·10⁻⁴·2 м = 10⁻³ м = 1 мм.

Ответ: проволока удлинится на 1 мм. Расчёт справедлив, если напряжение остаётся в упругой области материала.

Задача 3

По диаграмме напряжение–деформация нужно определить предел упругости и максимальную силу для стержня заданной площади без остаточной деформации. Предел упругости находят на границе участка, после которого разгрузка уже не возвращает образец к исходной длине. Силу затем получают из напряжения и площади сечения.

1. На диаграмме отмечаем конец упругой области и считываем соответствующее напряжение σупр.
2. Проверяем, что рабочая точка не выходит за эту границу; для отсутствия остаточной деформации должно выполняться σ ≤ σупр.
3. Вычисляем предельную силу: Fmax = σупрS, предварительно переведя площадь в м².

Ответ: предел упругости равен значению σупр, снятому с диаграммы, а максимальная сила без остаточной деформации равна σупрS. Если нужна предельная сила перед разрушением, используют уже не предел упругости, а соответствующее диаграмме максимальное напряжение.

Типичные ошибки

Путают напряжение с силой. Сила измеряется в ньютонах и не учитывает площадь сечения, а напряжение равно F/S и измеряется в паскалях. Проверьте себя: если в ответе стоят ньютоны, найдено не напряжение.

Не переводят площадь в СИ. Значения в см² и мм² нельзя напрямую подставлять в формулу, потому что паскаль соответствует Н/м². Перед вычислением замените 1 см² на 10⁻⁴ м², а 1 мм² — на 10⁻⁶ м².

Применяют закон Гука при любой деформации. Линейная связь σ = Eε действует только в области малых упругих деформаций, до предела пропорциональности. Сначала определите по условию или диаграмме, не вышло ли тело за этот участок.

Считают восстановление формы обязательным. После снятия нагрузки пластическая деформация остаётся, а при превышении прочности тело разрушается. Спросите себя, находится ли рабочая точка внутри упругой области, а не просто ниже максимального напряжения.

Связь с другими темами

Для изучения деформаций нужны понятия силы, второй закон Ньютона, работа силы и единицы площади и длины в СИ. Без них трудно связать нагрузку, изменение размеров и энергию деформированного тела.

Механические свойства применяют при расчёте прочности мостов, зданий, канатов и деталей машин. Инженер проверяет, чтобы рабочее напряжение не приводило к остаточной деформации или разрушению.

Дальше эти знания понадобятся при изучении энергии деформации, колебаний пружин и сопротивления материалов. Модуль Юнга связывает свойства вещества с поведением реальной конструкции.

Что запомнить

• Деформация — изменение формы или размеров тела.
• Напряжение равно силе, делённой на площадь сечения: σ = F/S.
• Относительная деформация равна отношению изменения длины к первоначальной длине: ε = Δl/l₀.
• В области упругих деформаций выполняется закон Гука: σ = Eε.
• Чем больше модуль Юнга, тем труднее материал упруго деформировать.
• Пластическая деформация сохраняется после снятия нагрузки, а хрупкое тело разрушается почти без пластической деформации.