§ 1.10. Сферическое зеркало

Определения и обозначения

Сферическое зеркало — часть сферической поверхности, покрытая отражающим слоем. Если отражающая сторона обращена внутрь сферы, зеркало вогнутое; если наружу — выпуклое. Такая форма позволяет направленно отражать свет и получать изображения, а различие сторон определяет, будут ли отражённые лучи сходиться или расходиться.

Полюс зеркала — точка пересечения отражающей поверхности с главной оптической осью. Это удобная точка отсчёта: расстояния до предмета, изображения и фокуса обычно отсчитывают от полюса. Главная ось проходит через полюс и центр сферы, частью которой является зеркало.

Центр кривизны — центр исходной сферы, а радиус кривизны R — расстояние от него до полюса. Центр кривизны задаёт геометрический центр зеркальной поверхности. Луч, направленный через этот центр, падает на сферическую поверхность по нормали и после отражения идёт обратно по той же линии.

Главный фокус — точка на главной оси, где сходятся отражённые лучи, первоначально шедшие параллельно оси; у выпуклого зеркала пересекаются их продолжения. Расстояние от полюса до фокуса называют фокусным расстоянием F. Оно характеризует, насколько сильно зеркало собирает или рассеивает свет, и для близких к оси лучей связано с радиусом кривизны.

Как это устроено

Сферическая поверхность имеет один центр, равноудалённый от всех её точек. Поэтому радиус, проведённый к месту падения луча, перпендикулярен поверхности и служит нормалью. Главная оптическая ось — радиус, проходящий через полюс; так геометрия сферы связывает положение центра кривизны, полюса и направления отражения.

Закон отражения гласит: угол отражения равен углу падения, причём оба угла отсчитывают от нормали. У вогнутого зеркала параллельные оси лучи отражаются внутрь области перед зеркалом и для лучей около оси пересекают её в одной точке — главном фокусе. У выпуклого зеркала отражённые лучи расходятся; лишь их мысленные продолжения за зеркалом сходятся в фокусе, поэтому он мнимый.

Для луча, падающего далеко от оси, нормаль заметно наклонена, и место пересечения отражённого луча с осью отличается от места для лучей около оси. Поэтому строгой единой точки фокуса у сферического зеркала для всех лучей нет. Если ограничиться параксиальными лучами — близкими к оси и образующими с ней малые углы, — геометрия отражения даёт приближение F = R/2.

Построение начинают с вершины предмета и проводят главные лучи. Параллельный оси луч после отражения у вогнутого зеркала проходит через фокус, а у выпуклого идёт так, будто вышел из него; луч через центр кривизны возвращается по своей линии. Третий вариант — луч к полюсу: он отражается так, что угол с осью до и после отражения равен. Пересечение отражённых лучей или их продолжений показывает вершину изображения.

Положение предмета относительно фокуса и центра кривизны определяет, где пересекутся лучи, а значит, действительное ли получится изображение и каков будет его размер. Для расчёта используют формулу зеркала 1/F = 1/d + 1/f, где d — расстояние от предмета до полюса, а f — расстояние от изображения до полюса. При знаковой записи действительные расстояния берут положительными, а мнимое изображение за зеркалом обозначают отрицательным f; увеличение по модулю равно |f/d|.

Изображения в сферическом зеркале

Сначала найдите на оси фокус и центр кривизны: для вогнутого зеркала центр находится на расстоянии 2F от полюса. Затем сравните с ними положение предмета и выберите соответствующую строку. Для выпуклого зеркала изображение при любом конечном положении предмета остаётся мнимым, прямым и уменьшенным.

Разбор задач

1. Радиус кривизны и фокус

Радиус кривизны вогнутого зеркала равен 40 см. Найдите фокусное расстояние и определите положение фокуса относительно полюса и центра кривизны. Сначала используем связь для параксиальных лучей: F = R/2. Поскольку зеркало вогнутое, фокус лежит перед зеркалом, на той же стороне, что и центр кривизны.

1. Подставим R = 40 см в формулу: F = 40/2 = 20 см.
2. От полюса до фокуса — 20 см; от полюса до центра кривизны — R = 40 см.
3. Значит, фокус расположен посередине между полюсом и центром кривизны.

Ответ: F = 20 см; фокус находится в 20 см от полюса, перед зеркалом, и вдвое ближе к полюсу, чем центр кривизны.

2. Расстояние и характер изображения

Предмет стоит в 60 см от вогнутого зеркала с фокусным расстоянием 20 см. Требуется найти расстояние до изображения, его характер и размер относительно предмета. Здесь d = 60 см больше радиуса кривизны R = 2F = 40 см, поэтому изображение должно оказаться между F и C, быть действительным, перевёрнутым и уменьшенным. Проверим это расчётом по формуле зеркала.

1. Запишем 1/F = 1/d + 1/f и выразим 1/f = 1/F − 1/d.
2. Подставим данные: 1/f = 1/20 − 1/60 = 3/60 − 1/60 = 1/30, поэтому f = 30 см.
3. Увеличение по модулю равно f/d = 30/60 = 0,5. Значит, изображение вдвое меньше предмета; оно перевёрнуто, так как действительное.

Расстояние 30 см действительно лежит между фокусом (20 см) и центром кривизны (40 см), что подтверждает результат. Ответ: изображение в 30 см перед зеркалом, действительное, перевёрнутое и уменьшенное в 2 раза.

3. Построение и расчёт изображения

Предмет высотой 4 см находится в 15 см от вогнутого зеркала с F = 10 см. Нужно построить изображение и найти его положение и высоту. Поскольку предмет расположен дальше фокуса, изображение будет действительным; расчёт покажет, где именно оно появится. Центр кривизны находится на расстоянии 2F = 20 см, поэтому предмет лежит между фокусом и центром.

1. Для построения из вершины предмета проводим луч параллельно оси: после отражения он идёт через фокус. Второй луч направляем через центр кривизны: он возвращается по той же линии.
2. Точка пересечения отражённых лучей даёт вершину изображения; основание лежит на главной оси. По формуле 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/15 = 1/30 получаем f = 30 см.
3. Увеличение по модулю равно f/d = 30/15 = 2. Высота изображения равна 4 · 2 = 8 см; изображение перевёрнуто, поэтому его направленная высота отрицательна, если считать вверх положительным.

Ответ: изображение в 30 см перед зеркалом, действительное, перевёрнутое, высотой 8 см. Его положение за центром кривизны согласуется с тем, что предмет находится между фокусом и центром.

Типичные ошибки

Вогнутое и выпуклое зеркало иногда различают по внешней стороне поверхности, а не по тому, какая сторона отражает свет. Это приводит к неверному выводу о направлении отражённых лучей и положении фокуса. Сначала отметьте отражающую сторону: обращённая внутрь сферы означает вогнутое зеркало, наружу — выпуклое. Затем проверьте, сходятся ли реальные отражённые лучи или расходятся.

Ошибочно считать, что любой параллельный оси луч после отражения проходит через один и тот же фокус. У сферического зеркала лучи, далеко отстоящие от оси, пересекают её в других местах из-за наклона нормали. Формулу F = R/2 применяют как приближение для параксиальных лучей, а не как точное правило для всей поверхности. Проверка: если луч заметно удалён от оси, идеальное построение может быть неточным.

Фокус выпуклого зеркала иногда изображают перед зеркалом, как у вогнутого. Но у выпуклого реальные отражённые лучи расходятся и не пересекают ось за зеркалом; там пересекаются только их продолжения. Продлите лучи пунктиром назад: место пересечения продолжений и будет мнимым фокусом. Так же отличают мнимое изображение от действительного.

Формулу зеркала нельзя механически применять, забывая о знаках и о том, где ожидается изображение. При соглашении, принятом в расчёте, расстояние до мнимого изображения берут отрицательным; иные соглашения тоже возможны, но их нельзя смешивать. После вычисления сравните результат с положением предмета относительно F и C и проверьте, не противоречит ли знак характеру изображения. Такая проверка помогает заметить ошибку в преобразовании формулы.

Связь с другими темами

Для понимания зеркал нужны закон отражения, представление о луче и нормали, а также различие между действительным и мнимым изображением. Построение по главным лучам опирается на те же геометрические идеи, что и построение изображения в тонкой линзе, но линза преломляет свет, а зеркало отражает его. Сферические зеркала применяют в оптических приборах и телескопах, в автомобильных фарах и зеркалах наблюдения. Сравнение этих устройств показывает, как форма поверхности меняет ход световых лучей.

Что запомнить

• Сферическое зеркало — часть сферической отражающей поверхности.
• Главная оптическая ось проходит через полюс и центр кривизны.
• Для параксиальных лучей фокусное расстояние приблизительно равно половине радиуса кривизны: F ≈ R/2.
• У вогнутого зеркала параллельные лучи сходятся в действительном фокусе.
• У выпуклого зеркала фокус мнимый и расположен за зеркалом.
• Изображение строят по главным лучам, используя закон отражения.
• Положение и свойства изображения зависят от расположения предмета относительно фокуса и центра кривизны.