§ 1.11. Построение изображений в сферическом зеркале. Увеличение зеркала

Определения и обозначения

Сферическое зеркало — отражающая поверхность, являющаяся частью сферы. Вогнутое зеркало обращено к предмету внутренней стороной сферы, а выпуклое — внешней. Различие нужно потому, что вогнутое зеркало может собирать лучи, а выпуклое всегда рассеивает их.

Центр кривизны C — центр исходной сферы, частью которой является зеркало, а радиус кривизны R — расстояние от C до полюса зеркала. Полюс — середина отражающей поверхности на главной оси. Эти величины задают форму зеркала и помогают найти положение фокуса.

Главный фокус F — точка на главной оптической оси, в которой после отражения собираются параллельные оси лучи. Для выпуклого зеркала отражённые лучи расходятся, поэтому в фокусе пересекаются их продолжения. Фокус нужен для построения изображения и расчёта фокусного расстояния.

Линейное увеличение Γ — отношение размера изображения к размеру предмета с учётом ориентации: Γ = h′/h. Его модуль показывает, во сколько раз изменился размер, а знак указывает направление изображения. Отрицательное значение означает перевёрнутое изображение, положительное — прямое.

Как это устроено

Положение фокуса связано с радиусом кривизны из-за закона отражения и геометрии сферы. Для лучей, падающих близко к главной оси, углы малы, поэтому сферическую поверхность можно рассматривать почти как участок параболы. В результате параксиальные лучи сходятся примерно в одной точке посередине между полюсом и центром кривизны: f ≈ R/2.

Для построения изображения вогнутого зеркала проводят луч, параллельный главной оси: после отражения он проходит через фокус. Второй удобный луч направляют через фокус, и после отражения он идёт параллельно оси. Луч через центр кривизны падает по радиусу, поэтому отражается обратно по той же линии.

Достаточно построить два главных луча, потому что положение их пересечения однозначно задаёт вершину изображения. Отражённые лучи пересекаются — значит, изображение действительное, а продолжения расходящихся лучей пересекаются за зеркалом — значит, мнимое. Высоту изображения находят по расстоянию его вершины от оси, а направление — по тому, выше или ниже оси она расположена.

Тип изображения определяется положением предмета. Дальше центра кривизны предмет даёт между C и F действительное, перевёрнутое и уменьшенное изображение; в C изображение получается такого же размера. Между C и F изображение действительное, перевёрнутое и увеличенное, а между F и зеркалом — мнимое, прямое и увеличенное.

Для расчётов используют формулу зеркала 1/f = 1/a + 1/b, где a — расстояние до предмета, b — расстояние до изображения. Увеличение вычисляют так: Γ = h′/h = −b/a. Если b получается положительным, изображение считают действительным, а отрицательное b указывает на мнимое изображение за зеркалом.

Изображения в вогнутом и выпуклом сферических зеркалах

Сначала найдите строку по положению предмета относительно C и F, а затем прочитайте свойства изображения. Для выпуклого зеркала достаточно помнить одну отдельную строку: оно рассеивает лучи, поэтому изображение действительного предмета всегда мнимое, прямое и уменьшенное. Граничные случаи с предметом в фокусе требуют понимания хода лучей, а не обычного пересечения на конечном расстоянии.

Разбор задач

Задача 1

Условие: построить изображение предмета перед вогнутым зеркалом, если предмет находится дальше центра кривизны. Нужно указать положение и свойства изображения. Предмет обозначим вертикальной стрелкой.

1. Проведём из верхней точки стрелки луч, параллельный главной оси, и после отражения направим его через F.
2. Второй луч проведём через C: он падает по радиусу и возвращается по той же прямой.
3. Точка пересечения отражённых лучей задаёт верхнюю точку изображения, а основание находится на главной оси.

Ответ: изображение находится между C и F. Оно действительное, так как пересекаются сами отражённые лучи, перевёрнутое и уменьшенное.

Задача 2

Условие: R = 40 см, a = 60 см. Найти b и Γ. Зеркало вогнутое, поэтому фокусное расстояние берём положительным.

1. Находим фокус: f = R/2 = 20 см.
2. Подставляем в формулу зеркала: 1/b = 1/f − 1/a = 1/20 − 1/60 = 1/30, поэтому b = 30 см.
3. Вычисляем увеличение: Γ = −b/a = −30/60 = −0,5.

Ответ: изображение находится в 30 см перед зеркалом, Γ = −0,5. Оно действительное, перевёрнутое и в два раза меньше предмета.

Задача 3

Условие: R = 30 см, a = 20 см, h = 4 см. Требуется найти положение и высоту изображения. Сначала сравним расстояние до предмета с f = 15 см: предмет находится между F и зеркалом.

1. По формуле зеркала: 1/b = 1/15 − 1/20 = 1/60, значит, b = 60 см.
2. Увеличение равно Γ = −b/a = −60/20 = −3, поэтому изображение перевёрнуто и увеличено в три раза.
3. Высота изображения h′ = Γh = −3 × 4 = −12 см, а его размер равен 12 см.

Ответ: изображение расположено в 60 см перед зеркалом, его размер 12 см. Оно действительное, перевёрнутое и увеличенное.

Типичные ошибки

Путают f и R. Фокусное расстояние не равно радиусу: для сферического зеркала f ≈ R/2. Проверьте себя, восстановив формулу по геометрии: фокус лежит между полюсом и C.

Используют один луч. Один луч показывает только возможное направление и не подтверждает положение изображения. Проведите второй независимый главный луч и убедитесь, что обе линии пересекаются в одной точке.

Неверно различают действительное и мнимое изображение. Изображение действительное, если пересекаются сами отражённые лучи, а не их мысленные продолжения. Чтобы проверить ответ, проследите лучи после отражения и решите, можно ли поставить экран в точку пересечения.

Теряют знак увеличения. Модуль Γ отвечает только за размер, а знак показывает ориентацию. Сверьте вычисление с построением: Γ < 0 должно соответствовать перевёрнутому изображению.

Связь с другими темами

Для изучения зеркал нужны закон отражения света, свойства сферической поверхности и навыки построения изображений в тонкой линзе. Общая логика построения та же: используют несколько характерных лучей и анализируют их пересечение.

Знания о сферических зеркалах применяются в оптических приборах. Они нужны при изучении зеркальных телескопов, перископов, автомобильных зеркал и других практических систем, где важно управлять направлением и размером изображения.

Что запомнить

• Главная оптическая ось проходит через полюс и центр кривизны зеркала.
• Фокус сферического зеркала расположен примерно посередине между полюсом и центром кривизны.
• Для построения изображения достаточно использовать два главных луча.
• Вогнутое зеркало может давать действительное или мнимое изображение.
• Выпуклое зеркало для действительного предмета даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
• Формула зеркала связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения.
• Знак увеличения показывает ориентацию изображения, а его модуль — изменение размера.