§ 1.12. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Фокусное расстояние линзы F — расстояние от её оптического центра до главного фокуса. Для собирающей линзы F обычно считают положительным, а чем оно меньше, тем сильнее линза изменяет направление лучей. Эта величина нужна, чтобы связать свойства линзы с положением изображения.

Оптическая сила D — величина, обратная фокусному расстоянию: D = 1/F. В формуле F измеряют в метрах, а D — в диоптриях, причём 1 дптр = 1 м⁻¹. Знак оптической силы помогает отличать собирающую линзу от рассеивающей.

Линейное увеличение Γ — отношение размера изображения h′ к размеру предмета h: Γ = h′/h. Модуль Γ показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета, а знак указывает его ориентацию: минус означает перевёрнутое изображение, плюс — прямое. Формула нужна для нахождения размера изображения после определения его положения.

Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения: 1/F = 1/a + 1/b. Здесь a — расстояние от предмета до линзы, b — расстояние от линзы до изображения с учётом принятого знакового соглашения. По этой формуле находят неизвестное положение, если известны два других параметра.

Как это устроено

Решение начинают с выделения известных и неизвестных величин, потому что условие в тексте легко смешивает данные и искомые параметры. Все расстояния переводят в метры, чтобы единицы в формулах согласовались. Затем выполняют схематический рисунок: он показывает положение линзы, фокусов, предмета и предполагаемого изображения.

Выбор закона зависит от физической ситуации, а не от внешнего вида задачи. Для одной тонкой линзы используют формулу 1/F = 1/a + 1/b, для размера изображения — Γ = h′/h, а при переходе луча через границу сред — закон преломления n₁ sin α = n₂ sin β. Поэтому сначала нужно установить, какое взаимодействие света описывает условие.

Знаки расстояний и увеличения позволяют перевести вычисление на язык физики. Положительное или отрицательное b показывает сторону и тип изображения в выбранной системе знаков, а знак Γ — его ориентацию. Модуль увеличения сравнивают с единицей: при |Γ| > 1 изображение увеличено, при |Γ| < 1 уменьшено.

После подстановки данных проверяют размерность, знак и порядок ответа, потому что арифметически верный результат может противоречить схеме. Например, предмет между собирающей линзой и фокусом должен давать мнимое увеличенное изображение, а не действительное уменьшенное. Итог нужно сформулировать словами: назвать положение, размер и характер изображения.

Этапы решения задач по геометрической оптике

Таблица задаёт универсальный порядок работы с задачей. Переходить к следующему этапу стоит после проверки предыдущего: неверная схема или неподходящий закон приведут к ошибке даже при аккуратных вычислениях. Последняя проверка связывает численный ответ с реальным ходом лучей.

Разбор задач

Задача 1. Изображение в собирающей линзе

Предмет высотой h = 2 см расположен на расстоянии a = 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. Требуется найти расстояние до изображения и его высоту. Все данные сначала переведём в СИ: F = 0,10 м, a = 0,30 м, h = 0,02 м.

1. По формуле тонкой линзы получаем 1/b = 1/F − 1/a = 10 − 3,33 = 6,67 м⁻¹, поэтому b = 0,15 м, или 15 см. Положительное значение означает действительное изображение за линзой.
2. Находим увеличение: Γ = −b/a = −0,15/0,30 = −0,5. Тогда h′ = Γh = −0,5 · 2 см = −1 см.

Изображение находится в 15 см за линзой и имеет высоту 1 см. Знак минус показывает, что оно перевёрнуто, а модуль увеличения 0,5 — уменьшено в два раза. Это согласуется с расположением предмета дальше двойного фокуса.

Задача 2. Преломление света

Луч падает из воздуха на прозрачное вещество под углом α = 45° к нормали и преломляется под углом β = 30°. Нужно определить показатель преломления вещества, считая показатель воздуха равным единице. Углы берут именно от нормали, а не от поверхности.

1. Применяем закон преломления: n₁ sin α = n₂ sin β. После подстановки n₂ = sin 45°/sin 30°.
2. Так как sin 45° = √2/2, а sin 30° = 1/2, получаем n₂ = √2 ≈ 1,41. Показатель больше единицы, поэтому результат физически реалистичен для прозрачного вещества.

Показатель преломления вещества равен примерно 1,41. Угол преломления меньше угла падения, значит, луч при переходе из воздуха отклоняется к нормали. Если бы он переходил в среду с меньшим показателем, направление отклонения было бы обратным.

Задача 3. Система из двух линз

Две собирающие линзы имеют F₁ = 10 см и F₂ = 20 см и находятся на расстоянии 40 см друг от друга. Предмет расположен в 30 см перед первой линзой, а его высота равна h. Найдём положение окончательного изображения и его увеличение относительно предмета.

1. Для первой линзы: 1/b₁ = 1/10 − 1/30, откуда b₁ = 15 см. Промежуточное изображение находится между линзами, поэтому до второй линзы остаётся 40 − 15 = 25 см.
2. Для второй линзы промежуточное изображение является действительным предметом: 1/b₂ = 1/20 − 1/25, поэтому b₂ = 100 см за второй линзой. Увеличения равны Γ₁ = −15/30 = −0,5 и Γ₂ = −100/25 = −4.
3. Общее увеличение равно произведению: Γ = Γ₁Γ₂ = 2. Положительный знак появляется потому, что два переворота возвращают изображению прямую ориентацию.

Окончательное изображение образуется в 100 см за второй линзой и увеличено в два раза. Оно прямое относительно исходного предмета. Главный приём состоит в том, что результат работы первой линзы становится предметом для второй.

Типичные ошибки

Подстановка сантиметров в формулу вместе с фокусным расстоянием в метрах нарушает единицы и даёт неверное число. Так происходит, когда вычисления начинают сразу после чтения условия. Перед подстановкой переведите все длины в метры и проверьте, что результат расстояния имеет единицу метра.

Игнорирование знака расстояния до изображения приводит к путанице между действительным и мнимым изображением. Ошибку вызывают отсутствие схемы и непонимание положения предмета относительно фокуса. Проверьте, где должны пересекаться реальные лучи и совпадает ли это с полученным знаком b.

Оптическую силу иногда путают с фокусным расстоянием, хотя это взаимно обратные величины. Причина обычно в том, что обе величины описывают «силу» линзы в бытовом рассуждении. Сверьте формулу D = 1/F и единицы: фокусное расстояние измеряется в метрах, оптическая сила — в диоптриях.

В задаче с несколькими линзами нельзя сразу подставлять расстояние до исходного предмета в формулу второй линзы. Такое происходит, если не найдено промежуточное изображение первой линзы. Сначала определите его положение относительно второй линзы, затем используйте это расстояние как предметное для следующего элемента.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны законы отражения и преломления света, ход основных лучей в линзах, формула тонкой линзы и формула увеличения. Эти знания позволяют перейти от рисунка к уравнению и проверить результат.

Приёмы применяются в задачах об оптических системах и приборах: фотоаппаратах, микроскопах, телескопах. В каждом случае отдельные линзы можно анализировать последовательно, находя промежуточные изображения.

Тема связана с построением изображений в линзах и подготавливает к изучению волновой и квантовой природы света. Геометрическая оптика описывает направление лучей, а следующие разделы объясняют явления, где важны интерференция, дифракция и кванты.

Что запомнить

• Сначала анализируют условие и строят схему, затем выбирают формулу.
• Все величины перед вычислениями приводят к согласованным единицам.
• Для тонкой линзы используют связь фокусного расстояния, расстояний до предмета и изображения.
• Линейное увеличение показывает изменение размера и ориентацию изображения.
• Знак и величина результата должны соответствовать оптической схеме.
• В задаче с несколькими линзами изображение одного элемента становится предметом для следующего.
• Численный ответ нужно проверить по размерности и физическому смыслу.