§ 3.5. Преобразования Лоренца

Определения и обозначения

Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Рассмотрим системы S и S′, причём S′ движется относительно S со скоростью v вдоль оси x. Это позволяет сравнивать координаты и время одного и того же события.

Преобразования Лоренца — формулы перехода от координат и времени события в одной инерциальной системе к координатам и времени в другой. Они учитывают, что скорость света одинакова для всех инерциальных наблюдателей. Поэтому пространство и время нельзя преобразовывать независимо друг от друга.

Лоренц-фактор — коэффициент γ = 1/√(1 − v²/c²), зависящий от относительной скорости систем. При малых v он почти равен единице, а при приближении v к c быстро возрастает. Через γ записывают почти все релятивистские эффекты движения.

Пространственно-временной интервал — величина, одинаковая во всех инерциальных системах. Для двух событий он равен Δs² = c²Δt² − Δx² − Δy² − Δz². Его сохранение играет роль, похожую на сохранение расстояния при обычном повороте координат.

Как это устроено

Преобразования Галилея используют абсолютное время: t′ = t, x′ = x − vt. Тогда скорость тела и скорость света складывались бы по классическому правилу, а разные наблюдатели получали бы разные значения скорости света. Это противоречит принципу относительности и результатам опытов, поэтому пространство и время должны входить в единую систему преобразований.

Выберем две системы S и S′, причём S′ движется вдоль общей оси x со скоростью v. Оси y и z направим поперёк движения, а начала координат совместим в момент t = t′ = 0. Такое соглашение убирает лишние постоянные сдвиги и позволяет описывать событие координатами x, y, z, t и x′, y′, z′, t′.

Формулы находят из двух требований: законы физики одинаковы во всех инерциальных системах, а скорость света равна c в каждой из них. Если световой сигнал удовлетворяет x² + y² + z² = c²t² в S, то после перехода он должен удовлетворять такому же уравнению в S′. Линейная связь, обладающая этим свойством, даёт x′ = γ(x − vt), t′ = γ(t − vx/c²), y′ = y и z′ = z.

Обратный переход описывает движение S относительно S′, поэтому достаточно заменить v на −v: x = γ(x′ + vt′), t = γ(t′ + vx′/c²). Знак скорости нельзя выбирать по привычке: он определяется направлением движения одной системы относительно другой. Если v намного меньше c, то γ ≈ 1, а добавка vx/c² к времени становится малой, поэтому получаются преобразования Галилея.

Из формул видно, что два события, одновременные в S, не обязаны быть одновременными в S′: при Δt = 0 имеем Δt′ = −γvΔx/c². Для движущихся часов собственный промежуток времени становится меньше наблюдаемого: Δt = γΔt₀. Из одновременного измерения концов стержня следует сокращение длины L = L₀/γ, а интервал Δs² остаётся неизменным.

Преобразования координат и следствия специальной теории относительности

В таблице собраны основные формулы и выводы. Сначала определите, какая система движется и вдоль какой оси, затем выберите прямое или обратное преобразование. Для эффектов времени и длины особенно важно, какие события сравниваются одновременно.

Разбор задач

Задача 1

Система S′ движется относительно S со скоростью 0,6c. Событие имеет координаты x = 900 м и t = 5 мкс в системе S. Нужно найти координату и время этого события в S′.

1. Вычислим γ: γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1,25.
2. Поскольку c · 5 мкс = 1500 м, имеем vt = 0,6 · 1500 м = 900 м. Тогда x′ = 1,25(900 − 900) м = 0.
3. Для времени заметим, что x/c = 900 м/c = 3 мкс. Поэтому t′ = 1,25(5 − 0,6 · 3) мкс = 4 мкс.

Ответ: x′ = 0, t′ = 4 мкс. Событие находится в начале координат S′, но происходит не в момент совпадения начал.

Задача 2

Стержень имеет собственную длину L₀ = 10 м и покоится в S′. Система S′ движется относительно S со скоростью 0,6c. Требуется найти длину стержня в S и понять, почему измерения должны быть одновременными именно в S.

1. Собственная длина измеряется в системе покоя стержня, поэтому L₀ = 10 м.
2. Для v = 0,6c γ = 1,25. В движущейся системе длина вдоль движения равна L = L₀/γ = 10/1,25 = 8 м.
3. Чтобы получить длину в S, нужно определить координаты обоих концов при одном и том же времени t. Если взять их в разные моменты, стержень успеет переместиться, и разность координат не будет его длиной.

Ответ: L = 8 м. Одновременность выбирается в системе, где измеряют длину, а собственная длина заранее известна в системе покоя стержня.

Задача 3

В системе S два события разделены расстоянием Δx = 1500 м и промежутком времени Δt = 3 мкс. Нужно найти скорость системы S′, в которой события одновременны, и расстояние между ними в этой системе.

1. При одновременности Δt′ = 0, поэтому 0 = γ(Δt − vΔx/c²). Отсюда v = c²Δt/Δx = 0,6c.
2. Для этой скорости γ = 1,25. Тогда Δx′ = γ(Δx − vΔt) = 1,25(1500 − 0,6 · 900) м = 1200 м.
3. Проверим результат по интервалу: Δs² = 1500² − 900² = 1200² м², потому что cΔt = 900 м. В системе одновременности интервал равен Δx′², значит расчёт согласуется.

Ответ: v = 0,6c, Δx′ = 1200 м. Возможность такой системы связана с тем, что расстояние между событиями больше cΔt.

Типичные ошибки

Использовать преобразования Галилея при скоростях, сравнимых с c, ошибочно, потому что они нарушают постоянство скорости света. Так поступают из-за привычности классических формул. Проверьте себя: если результат зависит от сложения скорости света со скоростью системы, нужны преобразования Лоренца.

Считать время и одновременность абсолютными означает забыть член −vx/c² в формуле для t′. Ошибка возникает, когда время мысленно отделяют от пространства. Проверьте формулу для разностей: при Δt = 0 обычно остаётся Δt′ = −γvΔx/c².

Подстановка скорости тела вместо относительной скорости систем меняет смысл всей формулы. Причина ошибки — смешение движения объекта с движением наблюдателя. Сначала укажите, какая система движется относительно какой, и только затем выберите знак v.

Сравнивать концы движущегося стержня в разные моменты нельзя, поскольку за это время стержень сместится. Так получают не длину, а разность координат разных положений тела. Проверка проста: оба события измерения концов должны иметь одно и то же время в выбранной системе.

Связь с другими темами

До преобразований Лоренца нужны понятия инерциальной системы, принцип относительности, постоянство скорости света и преобразования Галилея. Они показывают, почему классическое описание требует уточнения. Без этих идей трудно понять происхождение формул.

Преобразования Лоренца служат основой релятивистской динамики. С ними связаны формулы энергии и импульса, релятивистский закон сложения скоростей и связь массы и энергии. Поэтому тема переходит от кинематики к более общему описанию движения.

Практически эти преобразования нужны при анализе быстрых частиц и работы ускорителей. Они объясняют наблюдаемые эффекты специальной теории относительности. При обычных скоростях поправки малы, но для частиц, движущихся близко к c, становятся определяющими.

Что запомнить

• Преобразования Лоренца связывают координаты и время одного события в движущихся инерциальных системах.
• Скорость света одинакова во всех инерциальных системах.
• Лоренц-фактор γ зависит только от относительной скорости систем и не меньше единицы.
• При переходе между системами изменяются не только координаты, но и время.
• Одновременность событий зависит от системы отсчёта.
• При малых скоростях преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.
• Пространственно-временной интервал сохраняется при переходе между инерциальными системами.