§ 5.4. Преобразования Лоренца

Определения и обозначения

Инерциальная система отсчёта — система, в которой тело при отсутствии воздействия движется равномерно и прямолинейно. Преобразования Лоренца рассматривают между такими системами, потому что именно в них формулируются законы специальной теории относительности. Для сравнения наблюдений нужно, чтобы движение систем не было ускоренным.

Событие — физическое явление, заданное местом и временем, когда оно произошло. В системе S событие имеет координаты x, y, z и время t, а в системе S′ — x′, y′, z′ и t′. Это не два разных события, а два описания одного явления.

Преобразования Лоренца — формулы, связывающие координаты и время одного события в двух инерциальных системах, движущихся относительно друг друга. Они позволяют перевести измерения одного наблюдателя в значения, которые получит другой. Такая связь необходима, когда скоростью света нельзя пренебречь.

Коэффициент Лоренца γ — множитель, зависящий от относительной скорости систем: γ = 1/√(1 − v²/c²). Здесь v — скорость одной системы относительно другой, а c — скорость света в вакууме. Коэффициент показывает, насколько преобразования отличаются от классических.

Как это устроено

Обозначим неподвижную для первого наблюдателя систему как S, а движущуюся относительно неё — как S′. Пусть S′ движется вдоль оси x со скоростью v, а оси систем параллельны. Начала координат совпадают в момент t = t′ = 0, поэтому в этот момент наблюдатели отсчитывают координаты от одной точки. Такой выбор упрощает формулы и позволяет сравнивать одно и то же событие.

В классической механике координату связывают формулой Галилея x′ = x − vt, а время считают одинаковым: t′ = t. Но тогда скорости света, измеренные наблюдателями, движущимися относительно источника, могли бы различаться. Эксперименты и постулат специальной теории относительности требуют, чтобы скорость света в вакууме была одинаковой во всех инерциальных системах. Поэтому преобразование должно менять не только координату, но и время.

Для перехода из S в S′ используют формулы x′ = γ(x − vt) и t′ = γ(t − vx/c²), где γ = 1/√(1 − v²/c²). Второе слагаемое в формуле времени показывает, что показание часов зависит также от координаты события. При движении только вдоль x поперечные направления не меняются: y′ = y и z′ = z. Такая форма преобразований сохраняет постоянство скорости света.

Чтобы выразить координаты события в S через известные значения в S′, нужно перейти к обратному преобразованию. Оно получается, если поменять местами системы: относительно S′ система S движется со скоростью −v. Поэтому x = γ(x′ + vt′), t = γ(t′ + vx′/c²), а y = y′ и z = z′. Знак скорости зависит от направления перехода, а не от того, движется ли система вообще.

Если v намного меньше c, отношение v/c мало, поэтому γ близок к единице. Тогда в выражении для времени добавка vx/c² также обычно мала по сравнению с t, и можно считать t′ ≈ t. Формула координаты становится x′ ≈ x − vt, то есть преобразованием Галилея. Поэтому классическая механика хорошо работает при обычных скоростях, но не подходит для описания движения, близкого к скорости света.

Преобразования координат и времени между системами S и S′

Сначала определите, в какой системе известны координаты события и в какую требуется перейти. Затем выберите нужный столбец и подставьте согласованные единицы величин. В обратных формулах меняется знак при члене со скоростью, но γ остаётся тем же.

Разбор задач

Задача 1. Система S′ движется вдоль оси x со скоростью 0,6c. В системе S событие имеет координату x = 900 м и происходит при t = 4 мкс. Найдём координату и время события в S′. Удобно сначала вычислить γ, затем подставить данные в прямые преобразования.

1. Найдём коэффициент: γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1/0,8 = 1,25.
2. Переведём скорость в единицы СИ: v = 0,6 · 3 · 10⁸ = 1,8 · 10⁸ м/с, а время — 4 мкс = 4 · 10⁻⁶ с.
3. Вычислим x′ = 1,25(900 − 1,8 · 10⁸ · 4 · 10⁻⁶) = 1,25(180) = 225 м.
4. Для времени получаем t′ = 1,25(4 · 10⁻⁶ − 1,8 · 10⁸ · 900/(3 · 10⁸)²) = 1,25 · 2,2 · 10⁻⁶ = 2,75 мкс.

Ответ: x′ = 225 м, t′ = 2,75 мкс. В формулах координаты и времени использованы согласованные единицы, поэтому результат времени получен в секундах, а затем переведён в микросекунды. Если подставлять скорость в долях c, нужно так же выразить остальные величины через c.

Задача 2. Событие зарегистрировано в S′ при x′ = 300 м и t′ = 2 мкс; скорость S′ относительно S равна 0,8c. Требуется найти координаты события в S. Поскольку переход обратный, используем обратные формулы, а не прямые. При v = 0,8c коэффициент γ равен 1/√(1 − 0,8²) = 5/3.

1. Переведём скорость и время: v = 2,4 · 10⁸ м/с, t′ = 2 · 10⁻⁶ с.
2. Подставим значения в x = γ(x′ + vt′): x = (5/3)(300 + 2,4 · 10⁸ · 2 · 10⁻⁶) = (5/3) · 780 = 1300 м.
3. Найдём время по формуле t = γ(t′ + vx′/c²): t = (5/3)(2 · 10⁻⁶ + 2,4 · 10⁸ · 300/(3 · 10⁸)²) = 4,33 · 10⁻⁶ с.

Ответ: x = 1300 м, t ≈ 4,33 мкс. Знак плюс в обеих обратных формулах появился из-за замены v на −v при смене направления перехода. Подстановка прямых формул вместо обратных дала бы другой результат и означала бы неверный выбор системы.

Задача 3. Для события известны x и t в S, а также измеренное время t′ в S′; нужно выразить скорость v. Начнём с формулы времени t′ = γ(t − vx/c²) и обозначим Δ = t − vx/c². Тогда t′ = Δ/√(1 − v²/c²), поэтому после возведения в квадрат получится уравнение относительно v.

1. Умножим на √(1 − v²/c²) и возведём обе части в квадрат: t′²(1 − v²/c²) = (t − vx/c²)².
2. Раскроем скобки и соберём члены: (x²/c⁴ + t′²/c²)v² − 2txv/c² + t² − t′² = 0.
3. Это квадратное уравнение, поэтому v = [2tx/c² ± √((2tx/c²)² − 4(x²/c⁴ + t′²/c²)(t² − t′²))]/[2(x²/c⁴ + t′²/c²)].
4. Из полученных корней выбирают физически допустимый: |v| < c, а также проверяют исходное уравнение, поскольку возведение в квадрат могло добавить лишний корень.

Ответ и оценка: скорость находят из указанного квадратного уравнения с учётом физического ограничения. Отличие t′ от t становится заметным, когда v сравнима с c и член vx/c² нельзя считать малым относительно t; оно также зависит от положения события x. Проверка размерностей полезна: в выражении vx/c² единицы соответствуют секундам, как и у t.

Типичные ошибки

Первая ошибка — применять преобразования Галилея при скоростях, сравнимых со скоростью света. Их продолжают использовать, потому что они привычны и дают верные приближения в повседневных условиях. Перед решением оцените отношение v/c: если оно не мало, учитывайте γ и преобразование времени.

Вторая ошибка — выбрать неверный знак скорости. Это часто происходит, когда направление перехода между системами не записано заранее. Проверьте, что S′ движется со скоростью v относительно S: из S в S′ стоит x − vt, а для обратного перехода используют замену v на −v.

Третья ошибка — преобразовать только координату, оставив время неизменным. Так рассуждают по аналогии с классической механикой, где время считается общим для всех наблюдателей. В преобразованиях Лоренца проверьте наличие члена vx/c² и множителя γ в формуле времени.

Четвёртая ошибка — менять y и z при движении вдоль x или забывать зависимость γ от v/c. Причина обычно в механическом переносе формул на все координаты сразу. Сверьте направление движения с осями: при движении вдоль x меняются x и t, а y и z сохраняются; γ рассчитывают по отношению v/c.

Связь с другими темами

Для понимания преобразований нужны понятия инерциальной системы, координат и времени события, а также преобразования Галилея. Постулаты специальной теории относительности объясняют, почему классической связи недостаточно и скорость света должна оставаться одинаковой для наблюдателей. Освоив преобразования Лоренца, можно вывести замедление времени, сокращение длины и относительность одновременности. Они также служат основой релятивистского сложения скоростей.

Что запомнить

• Преобразования Лоренца связывают координаты и время одного события в разных инерциальных системах.
• При движении S′ вдоль оси x преобразуются x и t, а координаты y и z остаются неизменными.
• Коэффициент γ = 1/√(1 − v²/c²) зависит от относительной скорости систем.
• При переходе к обратным преобразованиям скорость v меняют на −v.
• Для v ≪ c преобразования Лоренца приближённо переходят в преобразования Галилея.
• Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.