§ 5.5. Теория относительности Эйнштейна

Определения и обозначения

Принцип относительности Эйнштейна утверждает: законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Инерциальная система — та, в которой тело без внешнего воздействия покоится или движется равномерно и прямолинейно. Поэтому ни одна такая система не является особенной для описания физических законов.

Постулат постоянства скорости света означает, что свет в вакууме движется со скоростью c для всех инерциальных наблюдателей, независимо от движения источника. Это отличается от привычного сложения скоростей и задаёт основу специальной теории относительности. Здесь c — предельная скорость передачи сигналов.

Собственное время Δτ — промежуток между событиями, измеренный в системе, где оба события происходят в одной точке. Например, часы на корабле измеряют собственное время между двумя событиями на борту. Это определение помогает сравнивать показания часов в разных системах.

Собственная длина L₀ — длина тела, измеренная в системе отсчёта, где оно покоится. В этой системе концы тела можно измерить одновременно, не учитывая его перемещение. Собственная длина служит исходной величиной при сравнении размеров движущегося тела.

Как это устроено

В классической механике считалось, что время течёт одинаково для всех наблюдателей, а скорости складываются по правилу u = u′ + v. Если источник света движется, такое правило предсказывало бы для наблюдателя скорость света c плюс скорость источника. Однако опыт показывает, что скорость света в вакууме от движения источника не зависит. Значит, классические представления об абсолютном времени и сложении скоростей не могут быть универсальными.

Постулаты Эйнштейна требуют, чтобы наблюдатели, движущиеся относительно друг друга, получали одинаковое значение c. Для этого при переходе между системами меняются измерения и расстояний, и времени. В результате два события, одновременные в одной системе, могут происходить в разное время в другой. Это называют относительностью одновременности: она особенно заметна для удалённых событий, а не для двух событий в одной точке.

Интервал Δτ между событиями в одной точке системы называют собственным временем. Если часы движутся со скоростью v относительно наблюдателя, тот измерит больший промежуток: Δt = γΔτ, где γ = 1/√(1 − v²/c²). При v = 0 коэффициент γ равен 1, а при приближении скорости к c он растёт. Поэтому движущиеся часы отсчитывают меньше времени между теми же событиями, чем наблюдатель в своей системе.

Собственную длину L₀ измеряют в системе покоя тела. Наблюдатель, относительно которого тело движется вдоль своей длины, получает L = L₀/γ, то есть меньший размер. Чтобы определить длину движущегося тела, нужно одновременно зафиксировать положения его концов в своей системе. Сокращение относится только к направлению движения: размеры поперёк него остаются прежними.

Для скоростей, направленных вдоль одной прямой, применяется формула u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²), где u′ — скорость тела относительно движущейся системы, а v — скорость самой системы. При малых по сравнению с c скоростях знаменатель близок к единице, и получается классическое сложение. При больших скоростях знаменатель не позволяет результату превысить c. Связь массы и энергии выражает формула E = mc²: даже покоящееся тело обладает энергией покоя.

Собственные и измеряемые величины в специальной теории относительности

Сначала определите, в какой системе объект покоится: именно там измеряют собственную длину, а для времени события должны происходить в одной точке. Затем выберите нужную формулу и вычислите γ для заданной скорости. При v = 0 показатели в обеих системах совпадают.

Разбор задач

Задача 1. Часы покоятся в корабле, и между двумя событиями на корабле проходит 2 мкс. Корабль движется относительно Земли со скоростью 0,6c. Найдём промежуток времени, который измерит земной наблюдатель. Важно установить, что заданные 2 мкс — собственное время часов.

1. Запишем данные: Δτ = 2 мкс, v = 0,6c. Вычислим γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1/0,8 = 1,25.
2. Применим формулу замедления времени: Δt = γΔτ. Подставим значения: Δt = 1,25 · 2 мкс = 2,5 мкс.
3. Проверим смысл результата: земной наблюдатель видит, что между событиями прошло больше времени, чем показывают часы, находящиеся вместе с ними.

Ответ: земной наблюдатель измерит 2,5 мкс.

Задача 2. Стержень имеет собственную длину 100 м и движется вдоль своей длины со скоростью 0,8c. Требуется найти длину, которую измерит наблюдатель, относительно которого стержень движется. Собственная длина дана в системе покоя стержня, поэтому её не нужно пересчитывать заранее.

1. Запишем L₀ = 100 м и v = 0,8c. Коэффициент Лоренца равен γ = 1/√(1 − 0,8²) = 1/0,6 = 5/3.
2. Используем формулу сокращения длины: L = L₀/γ. Получаем L = 100/(5/3) м = 60 м.
3. Проверим направление изменения: движущийся стержень должен быть короче собственной длины, а 60 м меньше 100 м. Сокращается именно размер вдоль движения.

Ответ: наблюдатель измерит длину 60 м.

Задача 3. Аппарат движется относительно Земли со скоростью 0,8c, а зонд запускают вперёд со скоростью 0,7c относительно аппарата. Нужно найти скорость зонда относительно Земли. Поскольку скорости велики, обычное сложение 0,8c + 0,7c здесь не подходит.

1. Обозначим v = 0,8c — скорость аппарата, а u′ = 0,7c — скорость зонда относительно него. Скорости направлены в одну сторону, поэтому используем формулу u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
2. Подставим значения: u = (0,7c + 0,8c)/(1 + 0,7 · 0,8) = 1,5c/1,56 ≈ 0,962c.
3. Проверим результат: скорость зонда относительно Земли меньше c. Это соответствует постулату о предельности скорости света.

Ответ: примерно 0,962c.

Типичные ошибки

Считать, что скорость света зависит от скорости источника, как скорости в классической механике, — значит применять правило сложения там, где оно не работает. Так думают, потому что привычный опыт с обычными телами подсказывает складывать скорости. Проверка: вспомните постулат Эйнштейна — любой инерциальный наблюдатель измеряет в вакууме скорость c.

Называть собственным временем интервал, измеренный произвольным наблюдателем, неверно: собственное время измеряется в системе, где события происходят в одной точке. Путаница возникает из-за того, что слово «собственное» легко принять за просто «измеренное своими часами». Проверьте, движутся ли часы от одного события к другому; если да, измеренный ими интервал может быть собственным.

Применять сокращение длины поперёк движения нельзя: формула L = L₀/γ относится только к размеру вдоль движения. Ошибка появляется, когда сокращение представляют как уменьшение тела во всех направлениях. Перед расчётом сравните направление измеряемой длины с направлением скорости.

Складывать большие скорости по классическому правилу — значит получить результат, который может превысить c. Так ошибаются, перенося на релятивистские задачи знакомую формулу u = u′ + v. Используйте релятивистский закон сложения и проверьте итог: он не должен быть больше скорости света.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны понятия инерциальной системы отсчёта, относительности движения и скорости, а также знакомство с преобразованиями Галилея. Теория относительности становится необходимой при описании частиц высоких энергий в ускорителях и при расчётах космических полётов. Формула E = mc² связывает движение и энергию с массой и подготавливает к изучению ядерных реакций и их энергетического баланса.

Что запомнить

• Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.
• Скорость света в вакууме одинакова для всех инерциальных наблюдателей.
• Одновременность удалённых событий зависит от системы отсчёта.
• Движущиеся часы измеряют больший промежуток времени, чем собственное время между событиями.
• Длина тела сокращается вдоль направления движения.
• Релятивистское сложение скоростей не позволяет получить скорость выше c.
• Энергия покоя связана с массой соотношением E = mc².