§ 5.6. Сокращение длины

Определения и обозначения

Собственная длина — длина тела, измеренная в системе отсчёта, относительно которой тело покоится. Её обозначают L₀. Это исходная величина для сравнения измерений в разных системах: в системе покоя оба конца тела неподвижны.

Сокращение длины — уменьшение измеренной длины тела вдоль направления его движения относительно наблюдателя. Оно не означает, что тело сжимается из-за механического воздействия. Понятие помогает описывать, почему результат измерения зависит от движения относительно выбранной системы отсчёта.

Релятивистское сокращение длины — зависимость измеренной длины движущегося тела от его скорости относительно наблюдателя. Измеренную длину обозначают L, скорость тела — v, скорость света — c. Эта зависимость нужна при описании тел, движущихся со скоростями, близкими к скорости света.

Одновременность измерений — условие, при котором положения обоих концов движущегося тела фиксируют в один и тот же момент времени в системе наблюдателя. Без него координаты могут относиться к разным положениям тела. Поэтому одновременность необходима, чтобы измеренная разность координат действительно задавала длину в этой системе.

Как это устроено

В системе наблюдателя тело движется, поэтому координаты его концов меняются со временем. Чтобы определить длину тела в конкретный момент, наблюдатель должен вычесть координаты концов, измеренные одновременно именно в своей системе. Если зафиксировать один конец раньше, за время между измерениями тело переместится, и разность координат будет включать не только его длину, но и перемещение.

Пусть тело покоится в системе S′, а его концы имеют постоянные координаты x′₁ и x′₂. В этой системе собственная длина равна L₀ = x′₂ − x′₁. Система наблюдателя S движется относительно S′ вдоль оси x, поэтому для перехода между системами применяют преобразования Лоренца: x = γ(x′ + vt′), t = γ(t′ + vx′/c²), где γ = 1/√(1 − v²/c²). Эти формулы связывают координаты и время одного события в двух системах.

Измерение концов в системе S одновременное, значит, для двух событий t₂ − t₁ = 0. Из преобразования времени следует, что соответствующие значения t′ у концов не обязаны совпадать: c²Δt′ = −vΔx′. Подставляя эту связь в преобразование координат и учитывая, что Δx′ = L₀, получаем разность координат концов в S: L = L₀/γ. Так одновременность в одной системе приводит к различию результатов измерения в другой.

Поскольку 1/γ = √(1 − v²/c²), формула сокращения длины имеет вид L = L₀√(1 − v²/c²). Здесь L₀ — длина в системе покоя тела, а L — длина, которую измеряет наблюдатель, относительно которого тело движется. При v = 0 длины равны, а при ненулевой скорости L меньше L₀.

В преобразованиях Лоренца скорость направлена вдоль оси движения, поэтому изменение затрагивает координату вдоль этой оси. Поперечные координаты не смешиваются с временем и не меняются при таком переходе между системами. При малых v/c корень √(1 − v²/c²) близок к единице, и разница длин мала; при приближении v к c множитель уменьшается, поэтому сокращение становится существенным.

Длины тела в разных системах отсчёта

Сначала определите, в какой системе тело покоится: именно там измеряется L₀. Затем для системы движущегося тела проверьте, какая длина дана и относительно кого задана скорость. Таблица помогает не перепутать измеряемые величины и условие одновременности.

Разбор задач

Задача 1. Стержень покоится относительно наблюдателя и имеет длину 2,0 м. Какова его собственная длина? Нужно найти систему, в которой стержень неподвижен, и сопоставить её с определением собственной длины.

1. Стержень покоится именно относительно данного наблюдателя, значит, измерение выполнено в системе покоя стержня.
2. Длина в системе покоя является собственной. Следовательно, L₀ = 2,0 м.
3. Дополнительное преобразование или формула сокращения не нужны: скорость стержня в этой системе равна нулю.

Ответ: собственная длина стержня равна 2,0 м. Здесь важно не искать сокращённую длину: наблюдатель и стержень покоятся друг относительно друга.

Задача 2. Собственная длина корабля L₀ = 100 м, скорость относительно наблюдателя v = 0,60c. Найдём длину корабля для этого наблюдателя. В формулу входит отношение скорости к скорости света, поэтому подставим его без перевода в метры в секунду.

1. Записываем формулу: L = L₀√(1 − v²/c²).
2. Подставляем значения: L = 100 м × √(1 − (0,60c)²/c²) = 100 м × √(1 − 0,36).
3. Вычисляем: √0,64 = 0,80, поэтому L = 100 м × 0,80 = 80 м.

Ответ: наблюдатель измерит длину корабля 80 м. Результат меньше собственной длины, как и должно быть для движущегося тела.

Задача 3. Космический аппарат имеет собственную длину 50 м, а наблюдатель измерил 30 м. Найдём скорость аппарата. Поскольку известны обе длины, сначала выразим из формулы безразмерное отношение v/c, а затем выберем физически допустимую скорость.

1. Делим формулу на L₀ и возводим в квадрат: (L/L₀)² = 1 − v²/c².
2. Выражаем скорость: v = c√(1 − (L/L₀)²) = c√(1 − (30/50)²).
3. Вычисляем: 30/50 = 0,6, значит, v = c√(1 − 0,36) = 0,8c.

Ответ: скорость аппарата равна 0,8c. Выбираем положительное значение скорости, поскольку спрашивается её величина; полученное значение меньше c и потому физически допустимо.

Типичные ошибки

Называть длину в системе покоя тела сокращённой — ошибка, потому что именно там измеряется собственная длина. Её допускают, смешивая понятия «движется относительно наблюдателя» и «имеет длину». Проверьте себя: если тело покоится в выбранной системе, его длина в ней обозначается L₀.

Сравнивать координаты концов, полученные в разные моменты, нельзя: движущееся тело успевает изменить положение. Ошибка возникает, когда забывают, что наблюдатель измеряет длину по двум координатам в один момент своего времени. Для проверки уточните, относятся ли обе координаты к одному значению времени в системе наблюдателя.

Применять сокращение к поперечным размерам неверно, поскольку формула описывает изменение только вдоль движения. Обычно это происходит из-за представления, что тело равномерно «сжимается» во всех направлениях. Проверьте направление скорости: изменяться может только составляющая размера, параллельная ей.

Нельзя подставлять в формулу измеренную длину вместо собственной или наоборот. Эти величины легко перепутать, если не определить систему, в которой тело покоится, и не уточнить, относительно кого задана скорость. Перед вычислением подпишите L₀ и L, а после проверьте, что L ≤ L₀ и отношение v/c безразмерно.

Связь с другими темами

Для понимания сокращения длины нужны понятия системы отсчёта, относительной скорости и одновременности событий. Математическая причина эффекта связана с преобразованиями Лоренца, которые объединяют преобразования координат и времени. Сокращение длины изучают вместе с релятивистским замедлением времени: оба эффекта показывают, что измерения зависят от системы отсчёта. Собственная длина пригодится и при решении других задач специальной теории относительности.

Что запомнить

• Собственная длина измеряется в системе покоя тела.
• Длину движущегося тела определяют по координатам концов, зафиксированным одновременно в системе наблюдателя.
• Формула сокращения длины: L = L₀√(1 − v²/c²).
• Измеренная длина движущегося тела не больше его собственной длины.
• Сокращается только размер вдоль направления движения.
• При v, значительно меньшей c, сокращение пренебрежимо мало.