"Физика", Б.Кронгарт, Ш.Насохова, С.Туякбаев, В.Кем, В.Загайнова
Релятивистский закон сложения скоростей позволяет найти скорость тела при переходе между системами отсчёта, движущимися друг относительно друга. Он нужен, когда скорости сравнимы со скоростью света: в таких случаях нельзя просто сложить скорости по правилу классической механики. Формула учитывает преобразование не только координат, но и времени. Благодаря этому итоговая скорость не превышает скорость света в вакууме, а для малых скоростей закон приближается к классическому.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система отсчёта — это тело отсчёта, связанные с ним координатная система и часы. Координаты и время события задают именно относительно выбранной системы. В этой теме рассматриваются две системы: неподвижная S и подвижная S′, которая движется вдоль прямой относительно S. Сравнивая измерения в них, можно понять, как меняется описание движения.
Скорость относительно системы отсчёта — отношение изменения координаты тела к промежутку времени, измеренному в этой системе. Скорость тела в S′ обозначим u′, скорость самой S′ относительно S — v, а скорость тела в S — u. Сначала задают положительное направление оси, чтобы каждой скорости присвоить знак. Это нужно для правильного учёта направления движения.
Релятивистский закон сложения скоростей — формула, позволяющая найти скорость тела в одной системе по его скорости в другой и скорости движения систем друг относительно друга. Для движения вдоль одной прямой она имеет вид u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²). Закон нужен при скоростях, для которых нельзя пренебречь эффектами специальной теории относительности. В нём важны и численные значения скоростей, и их знаки.
Скорость света в вакууме c — предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов. В формуле она задаёт масштаб, с которым сравнивают u′ и v. Если скорости малы относительно c, поправка в знаменателе почти незаметна. Если же тело движется со скоростью света, закон сохраняет эту скорость при переходе между системами.
Представим две системы отсчёта, движущиеся друг относительно друга по одной прямой. Ось направим так, чтобы скорость S′ относительно S была положительной и равнялась v. Скорость тела в подвижной системе обозначим u′, а в неподвижной — u. Если тело или система движутся против выбранного направления, соответствующая скорость будет отрицательной.
В классической механике считают, что время в обеих системах течёт одинаково, а координаты связаны простым сдвигом. При больших скоростях это предположение неверно: наблюдатели по-разному измеряют и промежутки времени, и расстояния. Поэтому нельзя взять обычное классическое правило u = u′ + v как точное. Нужно преобразовать обе величины, из которых определяется скорость.
Для движения вдоль оси преобразования Лоренца связывают координаты и время событий: x = γ(x′ + vt′), t = γ(t′ + vx′/c²), где γ = 1/√(1 − v²/c²). Чтобы получить скорость, рассматривают изменения координаты и времени между двумя событиями движения тела. Деление Δx на Δt даёт u = (Δx′ + vΔt′)/(Δt′ + vΔx′/c²). Поскольку Δx′/Δt′ = u′, после деления числителя и знаменателя на Δt′ получается формула u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
Знаки скоростей позволяют описать разные направления без изменения формулы. Если тело движется в подвижной системе туда же, куда движется сама система, u′ и v положительны, поэтому числитель содержит их сумму. При встречном движении одна скорость имеет знак минус: например, u′ = −0,4c. Тогда при подстановке формула сама учитывает, что движения направлены противоположно.
При малых скоростях произведение u′v/c² очень мало, поэтому знаменатель практически равен единице и получается u ≈ u′ + v. Это объясняет, почему классическое правило хорошо работает в обычных жизненных ситуациях. Но релятивистская формула нужна, если скорости близки к c: она не позволяет результату превысить скорость света. Например, при u′ = c числитель и знаменатель содержат общий множитель, и итоговая скорость равна c.
В таблице u′ — скорость тела в подвижной системе, v — скорость этой системы относительно выбранной, а u — скорость тела в выбранной системе. В строках о направлениях знаки нужно присвоить до вычислений. Во всех случаях, кроме малых скоростей, применяется одна и та же релятивистская формула.
| Ситуация | Скорость тела в подвижной системе | Скорость подвижной системы | Скорость тела в выбранной системе |
|---|---|---|---|
| Движение в одном направлении | u′ | v | (u′ + v)/(1 + u′v/c²) |
| Движение в противоположных направлениях | u′ и v имеют разные знаки | v | Подставить скорости со знаками в ту же формулу |
| Скорости много меньше c | u′ ≪ c | v ≪ c | Приближённо u ≈ u′ + v |
| Тело движется со скоростью света | u′ = c | v < c | u = c |
Задача 1. Аппарат движется относительно Земли со скоростью 0,6c, а зонд запускают в том же направлении со скоростью 0,5c относительно аппарата. Нужно найти скорость зонда относительно Земли. Здесь обе скорости положительны, поскольку направлены одинаково.
Ответ: примерно 0,846c относительно Земли.
Задача 2. Аппарат летит относительно Земли со скоростью 0,8c, а зонд движется навстречу ему со скоростью 0,7c в системе Земли. Найдём скорость зонда относительно аппарата. Положительным выберем направление движения аппарата, поэтому скорость зонда в системе Земли отрицательна.
Ответ: скорость зонда относительно аппарата примерно 0,962c, направлена против движения аппарата.
Задача 3. Источник в системе Земли испускает свет со скоростью c, а ракета движется в ту же сторону со скоростью 0,9c. Требуется определить скорость света относительно ракеты. Направление света и ракеты выберем положительным.
Ответ: скорость света относительно ракеты равна c.
При скоростях, сравнимых с c, иногда складывают скорости по классическому правилу. Так делают по привычке: в повседневных задачах оно действительно работает достаточно точно. Но при больших скоростях оно может дать результат больше скорости света. Проверь себя: если используешь классическую сумму, убедись, что обе скорости намного меньше c.
В формуле можно забыть знаменатель 1 + u′v/c² или ошибочно поменять его знак. Причина часто в том, что закон запоминают как обычную сумму с небольшой поправкой. Проверка проста: при малых скоростях знаменатель должен приближаться к единице, а при u′ = c итог должен оставаться равен c. Если эти свойства не выполняются, проверь запись формулы и знаки.
При встречном движении нельзя подставлять только модули скоростей, не указав направления. Так иногда делают, чтобы упростить вычисления, но тогда формула ошибочно воспринимает движение как однонаправленное. Задай ось и поставь минус скорости, направленной против неё. После вычисления знак ответа покажет итоговое направление.
Нельзя считать, что скорость света меняется из-за движения источника или наблюдателя. Такое ожидание возникает из-за классического правила сложения скоростей. В теории относительности скорость света в вакууме одинакова для инерциальных наблюдателей. Проверь результат подстановкой u′ = c: закон должен дать u = c.
Для работы с законом нужны понятия системы отсчёта, координаты и скорости, а также умение задавать направление оси. Без этого нельзя определить, какие скорости положительны, а какие отрицательны. Это основа для корректной подстановки значений в формулу.
При скоростях, близких к скорости света, вместо классических преобразований Галилея применяют преобразования Лоренца. Именно из них следует релятивистский закон сложения скоростей. Понимание связи между двумя преобразованиями помогает увидеть, почему меняется не только координата, но и время.
Закон относится к специальной теории относительности и релятивистской кинематике — описанию движения при больших скоростях. Он пригодится в задачах о частицах и космических аппаратах, движущихся относительно разных систем. В таких задачах важно сначала выбрать систему, в которой известны скорости, а затем переходить к нужной.
Почему нельзя просто сложить скорости, как в классической механике?
При больших скоростях переход между системами отсчёта меняет и координату, и время, поэтому классическое сложение не работает. Нужно использовать формулу u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²). При скоростях намного меньше c её знаменатель близок к единице.
Как определить, какую скорость считать u′, а какую v?
u′ — скорость тела, измеренная в подвижной системе отсчёта. v — скорость этой системы относительно выбранной системы, в которой нужно найти скорость тела u. До подстановки выбери положительное направление и укажи знаки скоростей.
Как учитывать движение навстречу друг другу?
Выбери одну ось и задай положительное направление. Скорость, направленную в противоположную сторону, запиши со знаком минус, а затем подставь обе скорости в ту же формулу. Отдельно менять её вид не нужно.
Почему при сложении скоростей результат не превышает скорость света?
Знаменатель формулы релятивистского сложения учитывает связь пространства и времени при переходе между системами. Если скорости меньше c, результат также остаётся меньше c. Если тело движется со скоростью c, результат сложения с любой допустимой скоростью равен c.
В каком случае релятивистский закон можно заменить классическим?
Когда обе скорости намного меньше скорости света, произведение u′v/c² очень мало. Тогда знаменатель почти равен единице, и получается приближение u ≈ u′ + v. Для скоростей, заметно близких к c, так делать нельзя.
§ 5.7. Релятивистский закон сложения скоростей
