§ 45. Релятивистский закон сложения скоростей

Определения и обозначения

Система отсчёта — способ описывать положение и движение тел, включающий тело отсчёта, координаты и часы. Одну систему будем считать лабораторной и неподвижной, а другую — движущейся относительно неё со скоростью v. Это уточнение необходимо, потому что одна и та же скорость зависит от выбранного наблюдателя.

Скорость тела — векторная величина, то есть она имеет числовое значение и направление. В задачах её рассматривают по компонентам относительно направления движения систем. Такое разложение позволяет отдельно применить формулу к движению вдоль оси и поперёк неё.

Продольная компонента скорости параллельна скорости относительного движения систем, а поперечная перпендикулярна ей. Обычно продольную обозначают uₓ или u′ₓ, поперечную — uᵧ или u′ᵧ. Такое различие нужно, потому что эти компоненты преобразуются неодинаково.

Релятивистский закон сложения скоростей — правило нахождения скорости тела в одной системе по его скорости в другой системе и скорости самих систем. Штрихом отмечают величины, измеренные в движущейся системе, без штриха — в лабораторной. Закон заменяет классическое сложение, когда скорости становятся сравнимыми с c.

Как это устроено

В классической механике считают, что время одинаково для всех наблюдателей, поэтому скорости складываются как u = u′ + v. Но специальная теория относительности утверждает, что промежутки времени и расстояния зависят от системы отсчёта. Поэтому при скоростях, близких к c, простое сложение начинает противоречить постоянству скорости света.

Сначала выбирают две инерциальные системы: S считают лабораторной, а S′ — движущейся относительно S вдоль положительного направления оси x со скоростью v. Скорость тела в S′ обозначают u′, а в S — u. После этого скорость раскладывают на u′ₓ и u′ᵧ, чтобы не перепутать направления.

Для продольной компоненты получается формула uₓ = (u′ₓ + v)/(1 + u′ₓv/c²). Знаменатель возникает из релятивистского преобразования координат и времени: измерения длины и времени нельзя считать независимыми от движения наблюдателя. Именно этот член уменьшает результат по сравнению с обычной суммой и не даёт скорости пересечь предел c.

Поперечная компонента преобразуется иначе: uᵧ = u′ᵧ/[γ(1 + u′ₓv/c²)], где γ = 1/√(1 − v²/c²). Дополнительный множитель 1/γ связан с тем, что в движущейся системе иначе соотносятся промежутки времени, за которые тело проходит поперечное расстояние. Поэтому нельзя подставлять поперечную скорость в формулу для продольной.

Если u′ и v намного меньше c, произведение u′v/c² мало, а γ почти равен единице. Тогда знаменатель можно считать равным единице, и продольная формула переходит в uₓ ≈ u′ₓ + v. Для света результат другой: при любой ориентации луча преобразованные компоненты дают модуль скорости c, а не значение больше c.

Сложение скоростей в классической и релятивистской механике

В таблице штрихованные величины относятся к движущейся системе, а величины без штриха — к лабораторной. Для направления, перпендикулярного движению систем, используется отдельная формула. Последний столбец помогает проверить формулу в предельных случаях.

Разбор задач

Задача 1. Аппарат и зонд

Космический аппарат летит относительно Земли со скоростью v = 0,8c, а зонд запускается вперёд со скоростью u′ = 0,7c относительно аппарата. Требуется найти скорость зонда относительно Земли. Затем сравним её с классическим результатом.

1. Выбираем Землю лабораторной системой, аппарат — движущейся системой и считаем направления скоростей одинаковыми.
2. Подставляем данные: u = (0,7c + 0,8c)/(1 + 0,7 · 0,8) = 1,5c/1,56 ≈ 0,962c.
3. Классическое сложение дало бы 0,7c + 0,8c = 1,5c, что невозможно для материального тела.

Ответ: скорость зонда относительно Земли примерно равна 0,962c. Релятивистская формула уменьшает результат и сохраняет его меньше c.

Задача 2. Продольное и поперечное движение

Частица в системе аппарата имеет компоненты скорости u′ₓ = 0,6c и u′ᵧ = 0,3c. Аппарат движется относительно лаборатории со скоростью v = 0,8c вдоль оси x. Найдём обе компоненты скорости частицы в лабораторной системе.

1. Сначала вычисляем общий знаменатель: D = 1 + u′ₓv/c² = 1 + 0,6 · 0,8 = 1,48.
2. Продольная компонента равна uₓ = (0,6c + 0,8c)/1,48 ≈ 0,946c.
3. Находим γ = 1/√(1 − 0,8²) ≈ 1,667, затем uᵧ = 0,3c/(1,667 · 1,48) ≈ 0,122c.

Ответ: uₓ ≈ 0,946c, uᵧ ≈ 0,122c. Компоненты нельзя складывать одной формулой, потому что только первая направлена вдоль движения аппарата.

Задача 3. Световой сигнал

Свет распространяется в системе S′ со скоростью c под углом к направлению движения аппарата, поэтому его компоненты обозначим u′ₓ и u′ᵧ. Для света выполняется u′ₓ² + u′ᵧ² = c². Нужно показать, что в лабораторной системе модуль скорости также равен c.

1. Используем формулы uₓ = (u′ₓ + v)/D и uᵧ = u′ᵧ/(γD), где D = 1 + u′ₓv/c².
2. Возводим компоненты в квадрат и складываем: u² = [(u′ₓ + v)² + u′ᵧ²/γ²]/D².
3. Так как 1/γ² = 1 − v²/c² и u′ₓ² + u′ᵧ² = c², числитель превращается в c²D².

Ответ: u² = c², следовательно, u = c. Направление луча изменяется для разных наблюдателей, но его скорость по модулю остаётся равной скорости света.

Типичные ошибки

Использование u = u′ + v при скоростях, сравнимых с c даёт завышенный результат. Так поступают по привычке из классической механики. Проверьте отношение скоростей к c и при больших значениях используйте знаменатель 1 + u′v/c².

Сложение модулей без учёта направлений может изменить знак и сам физический смысл ответа. Ошибка возникает, когда не выбрана положительная ось и не указано, какая система движется. Перед вычислением нарисуйте направления и используйте алгебраические знаки скоростей.

Применение продольной формулы к поперечной компоненте даёт неверное преобразование. Компоненты различаются, потому что одна направлена вдоль относительного движения, а другая — поперёк. Проверьте индекс: для uₓ используется числитель u′ₓ + v, а для uᵧ — множитель 1/γ.

Ожидание скорости больше c появляется при механическом сложении больших чисел. Релятивистский закон специально содержит знаменатель, который ограничивает результат. Подставьте ответ в условие u ≤ c и отдельно проверьте случай света.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны система отсчёта, относительное движение, векторная скорость и её компоненты. Также необходимы постулаты специальной теории относительности, особенно постоянство скорости света c. Закон пригодится при изучении релятивистской динамики, движения частиц и процессов в ускорителях, где скорости близки к световой.

Что запомнить

• Скорости складываются по-разному в классической и релятивистской механике.
• Для коллинеарных скоростей используется знаменатель 1 + u′v/c².
• Релятивистское сложение скоростей не позволяет получить скорость больше c.
• Продольная и поперечная компоненты скорости преобразуются по разным формулам.
• При малых скоростях релятивистские формулы переходят в классический закон сложения скоростей.
• Скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.
• Результат зависит от того, относительно какой системы отсчёта определяется скорость.