§ 35. Релятивистский закон сложения скоростей

Определения и обозначения

Система отсчёта S — это способ задавать положение тела и измерять его движение с помощью координат и часов. Система S′ движется относительно S вдоль общей оси x со скоростью v. Одно и то же тело наблюдатели в этих системах могут описывать разными скоростями, поэтому при переходе между системами нужна связь между измерениями.

Скорость u′ — скорость тела, измеренная в системе S′, а u — скорость того же тела, измеренная в S. В рассматриваемом одномерном случае это проекции скоростей на общую ось x, а не просто их модули. Знак показывает направление: положительное значение соответствует выбранному направлению оси, отрицательное — противоположному.

Классический закон сложения скоростей записывают как u = u′ + v. Он применяется в классической механике, когда скорости малы по сравнению со скоростью света. Это правило позволяет найти скорость тела относительно S, если известны его скорость относительно движущейся системы и скорость самой системы.

Релятивистский закон сложения скоростей имеет вид u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²), где c — скорость света в вакууме. Он учитывает, что при больших скоростях измерения координат и времени в разных системах связаны иначе, чем в классической механике. Знаковые значения u′ и v подставляют с учётом направлений движения.

Как это устроено

В классической механике за один и тот же промежуток времени тело и система S′ проходят перемещения, которые можно сложить. Время считается одинаковым для наблюдателей в обеих системах, поэтому отношение суммарного перемещения к этому времени даёт u = u′ + v. Такое описание удобно для обычных скоростей, например при движении транспорта или людей.

При скоростях, близких к скорости света, предположение об одинаковом времени для всех наблюдателей перестаёт работать. В специальной теории относительности переход между системами связывает не только координаты, но и время; эти связи называются преобразованиями Лоренца. Если применить их к движению тела и выразить его скорость в S, получается дробь с суммой скоростей в числителе и поправочным множителем в знаменателе: u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).

Чтобы правильно подставить скорости, сначала выбирают положительное направление оси. Если тело и система движутся в одну сторону, их проекции положительны; если тело движется навстречу движению S′, его скорость u′ отрицательна. Например, при v = 0,6c и встречном движении со скоростью 0,8c следует взять u′ = −0,8c, а не подставлять оба значения положительными.

При малых по сравнению с c скоростях отношение u′v/c² очень мало. Поэтому знаменатель 1 + u′v/c² почти равен единице, а дробь практически превращается в u′ + v. Так объясняется, почему классическое правило хорошо работает в повседневных ситуациях, но заметно расходится с релятивистским законом, когда скорости становятся сравнимы с c.

Формула не позволяет получить сверхсветовую скорость при сложении скоростей, меньших c по модулю. Например, если u′ и v положительны и меньше c, то в дроби знаменатель увеличивает сумму в числителе так, что результат остаётся меньше c. Если u′ = c, то отношение (c + v)/(1 + v/c) после упрощения равно c. Это отражает постоянство скорости света в вакууме для наблюдателей в разных системах.

Сравнение классического и релятивистского сложения скоростей

Сначала определи, достаточно ли малы скорости для классического приближения; если они сравнимы с c, используй релятивистскую формулу. Затем проверь направления: таблица не отменяет необходимость ставить знаки проекций. Для малых скоростей оба закона дают почти одинаковый ответ.

Разбор задач

Задача 1. Система S′ движется относительно S со скоростью 0,5c. Тело движется в S′ в том же направлении со скоростью 0,6c. Найдём скорость тела в S. Оба движения направлены вдоль положительной оси, поэтому u′ = 0,6c и v = 0,5c.

1. Запишем закон: u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
2. Подставим значения: u = (0,6c + 0,5c)/(1 + 0,6c · 0,5c/c²).
3. Сократим c² в произведении в знаменателе: u = 1,1c/1,3 ≈ 0,846c.

Ответ: скорость тела относительно S примерно равна 0,85c. Классическое сложение дало бы 1,1c, что показывает, почему при таких скоростях оно неприменимо.

Задача 2. Система S′ движется относительно S со скоростью 0,6c. Тело в S′ движется навстречу этому движению со скоростью 0,8c. Требуется найти его скорость относительно S. Выберем направление движения S′ за положительное, тогда u′ = −0,8c, а v = 0,6c.

1. Подставим знаковые проекции в формулу: u = (−0,8c + 0,6c)/(1 + (−0,8c) · 0,6c/c²).
2. В числителе получим −0,2c, а в знаменателе — 1 − 0,48 = 0,52.
3. Вычислим u = −0,2c/0,52 ≈ −0,385c. Минус означает, что тело движется против выбранного положительного направления.

Ответ: u ≈ −0,38c, то есть модуль скорости равен примерно 0,38c, а направление противоположно движению S′. Знак результата помогает отличить направление от величины скорости.

Задача 3. Космический аппарат движется относительно Земли со скоростью 0,7c и испускает световой импульс вдоль своего движения. Найдём скорость импульса относительно Земли. В системе аппарата скорость света направлена так же, как его движение, следовательно u′ = c и v = 0,7c.

1. Используем релятивистский закон: u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
2. Подставим значения: u = (c + 0,7c)/(1 + c · 0,7c/c²) = 1,7c/1,7.
3. Сократим числитель и знаменатель: u = c. Скорость света не зависит от движения аппарата.

Ответ: относительно Земли импульс движется со скоростью c. Получить 1,7c простым сложением нельзя: такая величина возникла бы из применения классического правила.

Типичные ошибки

Складывать скорости классически при значениях, сравнимых с c. Так поступают по привычке, потому что в обычных задачах правило u = u′ + v работает хорошо. Но для больших скоростей оно может дать результат больше скорости света. Проверь себя: если в ответе получилось значение больше c, используй релятивистский закон.

Не учитывать направление движения. Ошибка возникает, когда скорости записывают только положительными числами, хотя тело и система могут двигаться навстречу друг другу. Выбери ось и запиши скорости как проекции; встречное движение получит отрицательный знак. В конце проверь, согласуется ли знак результата с выбранным направлением.

Забывать знаменатель 1 + u′v/c². Если оставить только числитель u′ + v, релятивистская поправка исчезнет и результат может оказаться неверным. Ученик может потерять знаменатель при подстановке или спутать формулы двух законов. Перед вычислениями запиши закон целиком и проверь, что в знаменателе использовано произведение именно проекций скоростей.

Считать закон только правилом для света. Такое впечатление появляется потому, что формула особенно наглядно показывает неизменность скорости светового импульса. Однако она связывает измерения скорости любых тел и сигналов в двух системах отсчёта. Чтобы проверить применение, посмотри на условие: если известны скорости тела в S′ и системы S′ относительно S, закон подходит и для тела, и для сигнала.

Связь с другими темами

Для работы с законом нужны понятия скорости, её проекции и системы отсчёта, а также знакомство с классическим сложением скоростей. Эти понятия помогают правильно определить, что именно измеряет каждый наблюдатель, и выбрать знаки величин. Релятивистское правило опирается на преобразования Лоренца и постоянство скорости света в вакууме. Оно пригодится в задачах о телах и сигналах, движущихся с релятивистскими скоростями.

Что запомнить

• Для движения вдоль одной прямой u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
• Скорости в формуле — проекции на одну ось, поэтому их знаки задают направления.
• При скоростях, малых по сравнению с c, релятивистский закон переходит в классический.
• Скорость света в вакууме при сложении с другой допустимой скоростью остаётся равной c.
• Результирующая скорость тела не может превысить c.
• Для встречного движения одна из скоростей берётся со знаком минус.