46. Релятивистский закон сложения скоростей

Определения и обозначения

Релятивистский закон сложения скоростей — правило, позволяющее найти скорость тела в одной инерциальной системе отсчёта, если известны скорость этого тела в другой системе и скорость движения систем друг относительно друга. Инерциальной называют систему, в которой тело без внешнего воздействия покоится или движется равномерно и прямолинейно. Закон нужен для описания быстрого движения, когда классическое сложение уже недостаточно точно.

Скорость тела u′ — скорость, измеренная в системе отсчёта S′. Штрих у буквы означает, что величина относится к другой системе, а не к той, в которой ищут ответ. Это обозначение помогает не перепутать две скорости одного и того же тела, измеренные разными наблюдателями.

Скорость системы v — скорость движения системы S′ относительно системы S. Заранее выбирают положительное направление оси: скорость вдоль него считают положительной, а противоположную — отрицательной. Так направление учитывается прямо в расчёте, без отдельного словесного исправления результата.

Скорость тела u — скорость этого тела в системе S, которую находят по релятивистскому закону сложения скоростей. Она может отличаться от u′, потому что наблюдатели в S и S′ движутся друг относительно друга. В формуле c обозначает скорость света в вакууме.

Как это устроено

В классической механике скорости при движении вдоль одной прямой складывают, потому что предполагают одинаковое время для всех наблюдателей. В специальной теории относительности измерения пространства и времени зависят от движения системы отсчёта. Поэтому при скоростях, сравнимых с c, простая сумма не описывает перевод измерений между системами и способна привести к скорости больше c.

Для движения вдоль одной прямой результат задаёт формула u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²). Числитель похож на классическую сумму: он учитывает скорость тела в S′ и скорость самой S′ относительно S. Знаменатель — релятивистская поправка, связанная с преобразованием пространства и времени; она существенна, когда скорости велики по сравнению с c. Величины u′, v и c должны быть выражены в одинаковых единицах.

Направления учитывают знаками, а не только модулями скоростей. Выберите ось: если тело в S′ движется по положительному направлению, u′ положительна; если система S′ движется туда же, v тоже положительна. Когда одно движение направлено противоположно, соответствующая скорость получает знак минус, и формула учитывает разность направлений.

При малых скоростях |u′v|/c² намного меньше единицы, поэтому знаменатель почти равен 1. Тогда u ≈ u′ + v — получается классическое сложение. Если u′ = c, выражение принимает вид u = (c + v)/(1 + v/c) = c; аналогично результат равен c при v = c. Значит, сложение не превращает скорости света в значение больше c.

Формула записана для скоростей вдоль одной прямой; для движения в разных направлениях нельзя без изменений подставить модули в это выражение. Кроме того, скорость не является одинаковой для всех наблюдателей: u′ измерена в S′, а u — в S. Сначала определяют систему, в которой требуется ответ, и только потом выбирают подходящий закон преобразования.

Сложение скоростей в классической и релятивистской механике

Сначала найдите строку, соответствующую направлению движения, а затем проверьте, велики ли скорости по сравнению с c. В релятивистском столбце знаки важны: для противоположных направлений не подставляйте оба значения положительными. Таблица показывает, почему при быстрых движениях классическое правило заменяют формулой с поправкой в знаменателе.

Разбор задач

1. Зонд запускают с аппарата

Аппарат движется относительно Земли со скоростью 0,5c, а зонд — относительно аппарата со скоростью 0,6c в том же направлении. Нужно найти скорость зонда относительно Земли. Поскольку скорости велики и сонаправлены, используем релятивистскую формулу, считая обе скорости положительными.

1. Обозначим u′ = 0,6c, v = 0,5c; требуется найти u.
2. Подставим значения: u = (0,6c + 0,5c)/(1 + 0,6c · 0,5c/c²).
3. Сократим c в отношении: u = 1,1c/1,3 ≈ 0,846c.
4. Для сравнения классическая сумма дала бы 1,1c, что больше c.

Ответ: скорость зонда относительно Земли примерно 0,85c в направлении движения аппарата.

2. Тело движется против движения системы

Система S′ движется относительно Земли со скоростью 0,6c. Тело в S′ движется со скоростью 0,8c в противоположном направлении; найдём его скорость относительно Земли. Направление движения S′ выберем положительным, поэтому скорость тела получит отрицательный знак.

1. Запишем u′ = −0,8c, v = 0,6c.
2. Подставим: u = (−0,8c + 0,6c)/(1 + (−0,8c)(0,6c)/c²).
3. В числителе получим −0,2c, в знаменателе — 1 − 0,48 = 0,52.
4. Вычислим u = −0,2c/0,52 ≈ −0,385c. Минус означает движение против выбранного положительного направления.

Ответ: примерно 0,38c относительно Земли, в направлении, противоположном движению системы S′.

3. Найдём скорость аппарата относительно корабля

Корабль движется относительно Земли со скоростью 0,5c. Аппарат выпущен в том же направлении, а его скорость относительно Земли равна 0,9c; требуется найти скорость аппарата относительно корабля. Здесь известны u и v, поэтому формулу надо преобразовать и выразить u′.

1. Начнём с u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²) и умножим обе части на знаменатель.
2. Раскроем скобки: u + uu′v/c² = u′ + v. Перенесём слагаемые с u′: u − v = u′(1 − uv/c²).
3. Отсюда u′ = (u − v)/(1 − uv/c²). Подставим u = 0,9c и v = 0,5c.
4. Получим u′ = 0,4c/(1 − 0,45) = 0,4c/0,55 ≈ 0,727c.

Ответ: скорость аппарата относительно корабля примерно 0,73c в направлении движения корабля.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать скорости классически, даже когда они сравнимы с c. Так поступают по привычке, потому что для повседневных скоростей обычное правило работает хорошо; однако при больших скоростях сумма может оказаться больше скорости света. Проверьте себя: если исходные значения даны в долях c, используйте релятивистскую формулу и оцените, не превышает ли ответ c.

Вторая ошибка — записывать обе скорости положительными, хотя направления противоположны. Часто ученики подставляют только модули и забывают, что формула учитывает направление через знаки. Перед вычислениями нарисуйте ось и подпишите стрелки: противоположно направленная скорость должна иметь отрицательный знак.

Третья ошибка — путать скорость тела u′ со скоростью системы v. Обе величины описывают движение, поэтому их легко поменять местами; из-за этого неверно задают, что именно измеряется в каждой системе. Перед подстановкой подпишите u′ как скорость тела в S′, v как скорость S′ относительно S, а u как искомую скорость в S.

Четвёртая ошибка — забыть знаменатель 1 + u′v/c² или подставить в него значения в разных единицах. Знаменатель является частью закона, а дробь должна быть безразмерной, поэтому произведение скоростей делят на c². Проверьте запись формулы целиком и переведите все скорости, например, в м/с или в доли c.

Связь с другими темами

Для работы с законом нужно понимать, что такое система отсчёта, относительное движение и скорость. Также необходимо уметь складывать направленные вдоль одной прямой величины с учётом знаков: это поможет корректно задать исходные данные.

Релятивистское сложение скоростей опирается на постулаты специальной теории относительности, в том числе на постоянство скорости света для инерциальных наблюдателей. Это объясняет, почему при переходе между системами недостаточно классической суммы.

Закон применяют при анализе движения быстрых частиц и космических объектов. Он связан с преобразованиями Лоренца — формулами перехода между измерениями пространства и времени в разных инерциальных системах.

Что запомнить

• Скорость зависит от системы отсчёта.
• Для скоростей вдоль одной прямой u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
• Направления скоростей учитывают с помощью знаков.
• При скоростях намного меньше c релятивистская формула приближённо даёт u ≈ u′ + v.
• Сложение скоростей не даёт результат больше c, если исходные скорости меньше c.
• Формула в таком виде применяется к движению вдоль одной прямой.