45. Лоренцево сокращение длины. Замедление времени

Определения и обозначения

Собственная длина — длина тела в системе отсчёта, где оно покоится; координаты его концов измеряют одновременно. Её обозначают L₀. Она нужна как исходная величина для сравнения с длиной тела, движущегося относительно наблюдателя.

Лоренцево сокращение длины — уменьшение длины тела вдоль направления движения по сравнению с собственной длиной. Поперечные размеры при этом не меняются. Это позволяет объяснить, почему разные наблюдатели получают разные значения длины одного тела.

Собственное время — промежуток между двумя событиями, измеренный в системе, где события происходят в одной точке. Его обозначают Δt₀. Например, это показание одних часов на борту корабля между двумя последовательными событиями.

Замедление времени — увеличение промежутка между событиями в системе, относительно которой часы движутся, по сравнению с собственным временем. Измеренный промежуток обозначают Δt. Поэтому движущиеся часы кажутся наблюдателю идущими медленнее.

Как это устроено

Преобразования Лоренца связывают координаты и время одного события в разных инерциальных системах. В классической механике предполагается, что время одинаково для всех наблюдателей, но при больших скоростях это неверно. Причина эффектов в том, что одновременность событий зависит от системы отсчёта.

Чтобы найти длину движущегося тела, наблюдатель должен одновременно измерить координаты его переднего и заднего концов. Если измерения сделаны в разные моменты, тело успевает переместиться, и найденное расстояние не будет его длиной в данной системе. Из-за относительности одновременности результат получается меньше собственной длины только вдоль движения.

Собственная длина L₀ относится к системе покоя тела. В системе, где тело движется со скоростью v, длина вдоль движения равна L = L₀√(1 − v²/c²), где c — скорость света. При увеличении v корень становится меньше, поэтому сокращённая длина уменьшается.

Собственное время Δt₀ измеряют часами, покоящимися относительно места событий. Если те же часы движутся относительно наблюдателя, события происходят в разных точках его системы, и он измеряет больший промежуток: Δt = Δt₀/√(1 − v²/c²). Поэтому один и тот же механизм часов кажется замедленным.

Обе формулы содержат один и тот же множитель, но стоят по разные стороны дроби. При скоростях, намного меньших c, величина v²/c² очень мала, а √(1 − v²/c²) почти равен единице. Поэтому в обычной жизни релятивистские изменения длины и времени не обнаруживаются.

Лоренцево сокращение длины и замедление времени

Сначала определите, какая величина является собственной: длина тела в его системе покоя или время между событиями в одной точке. Затем выберите столбец таблицы и подставьте скорость в формулу. Если скорость близка к c, длина должна уменьшаться, а измеренный промежуток времени — увеличиваться.

Разбор задач

Задача 1

Корабль имеет собственную длину 10 м и движется относительно Земли со скоростью 0,8c. Нужно найти длину вдоль движения, измеренную земным наблюдателем. Длина 10 м является собственной, потому что дана для корабля в системе его покоя.

1. Используем формулу L = L₀√(1 − v²/c²).
2. Подставляем значения: L = 10√(1 − 0,8²) = 10√0,36.
3. Вычисляем: L = 10 · 0,6 = 6 м.

Ответ: земной наблюдатель измерит длину 6 м.

Задача 2

На борту корабля между событиями в одной точке проходит 2 мкс по бортовым часам. Скорость корабля равна 0,6c, поэтому 2 мкс — собственное время Δt₀. Требуется найти промежуток в системе Земли.

1. Применяем формулу Δt = Δt₀/√(1 − v²/c²).
2. Находим множитель: √(1 − 0,6²) = √0,64 = 0,8.
3. Получаем Δt = 2/0,8 = 2,5 мкс.

Ответ: земной наблюдатель измерит промежуток 2,5 мкс, то есть больше бортового времени.

Задача 3

Корабль летит мимо станции со скоростью 0,8c, а его собственная длина равна 120 м. Нужно найти длину в системе станции и время прохождения мимо неподвижного наблюдателя. Оба результата ищем именно в системе станции.

1. Сокращённая длина равна L = 120√(1 − 0,8²) = 120 · 0,6 = 72 м.
2. Наблюдатель фиксирован, поэтому корабль проходит мимо него за время t = L/v.
3. Подставляем: t = 72/(0,8c) = 72/(2,4 · 10⁸) с = 3 · 10⁻⁷ с.

Ответ: длина корабля в системе станции равна 72 м, а время прохождения мимо наблюдателя — 0,3 мкс.

Типичные ошибки

Сокращают длину поперёк движения. Эффект относится только к размеру вдоль скорости, потому что именно координаты в этом направлении связаны с относительностью одновременности. Проверьте себя: мысленно разложите размеры тела на продольный и поперечный.

Считают движущуюся длину собственной. Собственная длина измеряется в системе покоя тела, а не в системе наблюдателя. Если тело движется со скоростью v, величина L₀ должна стоять до применения формулы.

Путают собственное и измеренное время. Собственное время показывают часы, находящиеся в месте обоих событий, а для движущихся часов промежуток больше. Проверьте результат: при делении на √(1 − v²/c²) должно получиться число, превышающее Δt₀.

Сравнивают координаты концов не одновременно. Тогда один конец успевает сместиться, и расстояние не является длиной тела в выбранной системе. В решении явно укажите, что оба конца измеряются в один момент.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны инерциальные системы отсчёта, относительность движения, постоянство скорости света и основы специальной теории относительности. Замедление времени учитывают при изучении времени жизни нестабильных частиц и работы спутниковой навигации. Лоренцево сокращение и замедление времени являются следствиями преобразований Лоренца и подготавливают к дальнейшему изучению релятивистских эффектов.

Что запомнить

• Собственную длину измеряют в системе покоя тела.
• Сокращается только размер вдоль направления движения.
• Длина движущегося тела равна L₀√(1 − v²/c²).
• Собственное время измеряют в системе, где события происходят в одной точке.
• Для движущихся часов промежуток между событиями равен Δt₀/√(1 − v²/c²).
• При увеличении скорости сокращённая длина уменьшается, а измеренный промежуток времени увеличивается.