44. Преобразования Галилея и преобразования Лоренца

Определения и обозначения

Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно. Обозначим две такие системы K и K′; пусть K′ движется относительно K вдоль оси x. Это позволяет описывать одно событие двумя наборами координат и сравнивать результаты наблюдений.

Преобразования Галилея — классические формулы связи координат и времени события: x′ = x − vt, y′ = y, z′ = z, t′ = t. Здесь v — скорость K′ относительно K, а знак «−» выбран для движения в положительном направлении оси x. Формулы нужны, чтобы переходить от описания события в одной системе к описанию в другой.

Преобразования Лоренца учитывают постоянство скорости света: x′ = γ(x − vt), y′ = y, z′ = z, t′ = γ(t − vx/c²). Множитель γ = 1/√(1 − v²/c²) называют лоренцевым множителем; он зависит от относительной скорости систем. При v, близкой к c, он заметно отличается от единицы и изменяет и координату, и время.

Относительность одновременности означает, что два события с одинаковым временем t в одной системе могут иметь разные времена t′ в другой. Причина видна из формулы t′: результат зависит не только от t, но и от координаты x. Поэтому одновременность событий не является общей для всех наблюдателей.

Как это устроено

Зафиксируем параллельные оси систем K и K′ и совместим их начала в момент t = 0. Если K′ движется вправо со скоростью v, то за время t его начало смещается на vt, поэтому координата события в K′ равна x′ = x − vt. Поперечные координаты не меняются: y′ = y и z′ = z. В классической картине часы всех систем идут одинаково, поэтому t′ = t; при обратном выборе направления знак скорости должен быть изменён.

Преобразования Галилея следуют из двух идей: пространство складывается обычным образом, а время едино для всех наблюдателей. Для тела с координатой x за малый промежуток времени имеем u = Δx/Δt, а в системе K′ Δx′ = Δx − vΔt. Деление на Δt′ = Δt даёт u′ = u − v, то есть классическое сложение скоростей. Такая схема хорошо работает для автомобилей, поездов и других тел с малыми относительно c скоростями.

Однако классические формулы предсказывают для света u′ = c − v, если луч направлен вдоль движения системы. Это противоречит опытному факту: скорость света в вакууме равна c для любого инерциального наблюдателя. Значит, нельзя одновременно сохранить преобразования Галилея и постоянство c. Нужно изменить не только правило сложения скоростей, но и связь координат со временем.

Преобразования Лоренца получают из требования одинаковой скорости света во всех инерциальных системах. Для β = v/c должно выполняться β < 1, поскольку материальная система отсчёта не может двигаться со скоростью света, а при v = c выражение для γ становится недопустимым. Формулы x′ = γ(x − vt) и t′ = γ(t − vx/c²) смешивают пространство и время. В пределе v ≪ c γ близок к единице, и появляются преобразования Галилея.

Главное различие двух подходов состоит в статусе времени. В классике t′ = t, поэтому одновременность абсолютна и координата меняется независимо от времени. В релятивистской физике координата и время преобразуются совместно: изменение x влияет на t′, а изменение t — на x′. Так объясняются относительность одновременности, замедление времени и сокращение длины.

Сравнение преобразований Галилея и Лоренца

Сначала определите, насколько велика скорость движения системы по сравнению с c. Для обычных скоростей достаточно классического столбца, а при значительных долях c нужно использовать формулы Лоренца.

Отдельно проверьте направление движения: именно оно определяет знак v. При сравнении результатов полезно убедиться, что релятивистская скорость не превышает c.

Разбор задач

Задача 1

Система K′ движется со скоростью 5 м/с вдоль оси x системы K. Событие произошло при x = 20 м и t = 3 с. Найдём координату и время в K′ по формулам Галилея.

1. Движение направлено вдоль положительной оси, поэтому используем x′ = x − vt, а t′ = t.
2. Подставим данные: x′ = 20 − 5 · 3 = 5 м.
3. Время не меняется: t′ = 3 с.

Ответ: x′ = 5 м, t′ = 3 с.

Задача 2

Пусть v = 0,6c, x = 1,2 · 10⁸ м и t = 1 с. Используем c = 3 · 10⁸ м/с и преобразования Лоренца, потому что скорость велика по сравнению со скоростью света.

1. Вычислим множитель: γ = 1/√(1 − 0,6²) = 1,25.
2. Координата: x′ = 1,25(1,2 · 10⁸ − 0,6c · 1) = 1,25(−0,6 · 10⁸) = −7,5 · 10⁷ м.
3. Время: t′ = 1,25(1 − 0,6 · 1,2 · 10⁸/(3 · 10⁸)) = 1,25 · 0,76 = 0,95 с.

Ответ: x′ = −7,5 · 10⁷ м, t′ = 0,95 с. Отрицательная координата показывает, что событие находится слева от начала K′.

Задача 3

Аппарат движется относительно Земли со скоростью v = 0,8c, а зонд — со скоростью u′ = 0,7c относительно аппарата в том же направлении. Сложить скорости напрямую нельзя: результат 1,5c нарушил бы ограничение теории относительности.

1. Применим формулу u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
2. Подставим значения: u = (0,7c + 0,8c)/(1 + 0,7 · 0,8) = 1,5c/1,56.
3. Получим u ≈ 0,962c, что меньше c.

Ответ: скорость зонда относительно Земли примерно 0,962c, а классическое сложение дало бы ошибочные 1,5c.

Типичные ошибки

Смешивать преобразования для разных направлений движения: знак v зависит от выбранных осей и от того, какая система движется относительно другой. Ошибку допускают, когда механически запоминают знак перед vt. Проверьте себя рисунком осей и смещением начала K′ за время t.

Считать, что в преобразованиях Лоренца время неизменно, — значит потерять член −vx/c². Так происходит из-за привычки к формулам Галилея. Проверьте формулу t′ = γ(t − vx/c²): время зависит и от координаты события.

Применять классическое сложение скоростей при скоростях, сравнимых с c, опасно: сумма может оказаться больше c. Такой результат сразу показывает неверный метод. Используйте u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²) и сравните итог с c.

Забывать, что преобразования Галилея являются приближением при v ≪ c, нельзя. Их часто переносят на свет или быстрые частицы из-за знакомого вида формул. Оцените отношение v/c: если оно не мало, применяйте преобразования Лоренца.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны представления об инерциальной системе отсчёта, координатах события, относительном движении и скорости света. Эти понятия объясняют, почему один и тот же процесс можно описывать разными координатами, но физические законы должны согласовываться.

Преобразования Лоренца служат основой для релятивистского сложения скоростей, замедления времени и сокращения длины. Поэтому освоение формул этого параграфа помогает связать кинематику специальной теории относительности с её наблюдаемыми следствиями.

Что запомнить

• В преобразованиях Галилея время одинаково во всех инерциальных системах.
• Для движения K′ вдоль оси x со скоростью v: x′ = x − vt, t′ = t.
• В преобразованиях Лоренца координата и время преобразуются совместно.
• Множитель Лоренца γ = 1/√(1 − v²/c²) определён при v < c.
• При v ≪ c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.
• Релятивистское сложение скоростей не позволяет получить скорость выше скорости света.