"Физика. Оптика. Квантовая физика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Релятивистский закон сложения скоростей позволяет найти скорость тела в одной инерциальной системе, если известны его скорость в другой системе и скорость движения самих систем. При скоростях, близких к скорости света, привычное сложение даёт неверный результат: оно могло бы привести к скорости больше c. Формула Эйнштейна учитывает связь пространства и времени, сохраняет постоянство скорости света и при малых скоростях становится почти классической.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Релятивистский закон сложения скоростей — правило, по которому находят скорость тела в одной системе отсчёта, зная его скорость в другой и скорость относительного движения систем. Оно необходимо, когда скорости велики и классическое сложение уже даёт заметную ошибку. Для движения вдоль одной прямой скорости связывает формула u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело движется равномерно и прямолинейно. Закон сложения сравнивает скорости, измеренные именно в двух таких системах. Например, можно описать движение аппарата отдельно относительно корабля и относительно Земли.
Относительная скорость систем отсчёта — скорость, с которой одна система движется относительно другой; обычно её обозначают v. В формуле это скорость, которая связывает выбранные системы, а не скорость самого тела. Направление v задают знаком относительно выбранной оси.
Скорость света в вакууме обозначают c. Она одинакова для всех инерциальных систем и является предельной скоростью передачи взаимодействий и движения материальных тел. Поэтому c входит в формулу и определяет, насколько результат отличается от классического сложения.
В классической механике предполагают, что время одинаково во всех системах, а расстояния складываются обычным образом. Поэтому при движении тела и системы в одну сторону пишут u = u′ + v. Если скорости становятся сравнимы с c, такое правило может дать u > c, что противоречит постоянству скорости света. Значит, при переходе между системами нужно иначе связывать измеренные координаты и время.
Эту связь задают преобразования Лоренца: координата и время в одной системе выражаются через координату и время в другой. Скорость — это отношение изменения координаты к изменению времени, поэтому, чтобы преобразовать скорость, нужно преобразовать и числитель, и знаменатель. Для движения вдоль одной оси дифференцирование преобразований приводит к формуле u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²).
Член u′v/c² появляется именно потому, что при преобразовании Лоренца меняется не только координата, но и временной интервал. Он безразмерен и при малых скоростях очень мал, поэтому знаменатель почти равен единице. При скоростях, близких к световой, поправка уже существенна и уменьшает результат по сравнению с классической суммой.
Знаки в формуле позволяют описать разные направления. Если тело и система движутся в одном направлении, u′ и v имеют одинаковый знак; если тело движется навстречу системе, знаки противоположны. Если тело покоится в системе, где его измеряют, u′ = 0 и скорость в другой системе равна v. Таким способом одна формула охватывает все коллинеарные случаи.
Формула не позволяет получить скорость больше c, если исходные скорости меньше c. Это видно и из её структуры, и из предельного случая u′ = c: числитель и знаменатель становятся пропорциональны, так что результат снова равен c. Следовательно, свет не «разгоняется» сложением скоростей, а медленные тела остаются медленнее него в любой инерциальной системе.
| Случай | Формула | Физический смысл и предельный результат |
|---|---|---|
| Общий случай коллинеарного движения систем и тела | u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²) | Знаки u′ и v задают направления движения. |
| Движение тела и системы в одном направлении | u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²), u′v > 0 | Скорость больше каждой из исходных, но меньше c. |
| Движение тела навстречу движению системы | u = (u′ + v)/(1 + u′v/c²), u′v < 0 | Встречное направление учитывается отрицательным знаком одной скорости. |
| Тело покоится в одной из систем | u′ = 0: u = v | Тело движется относительно другой системы вместе с первой. |
| Скорость тела равна скорости света | u′ = c: u = c | Скорость света остаётся неизменной при переходе между системами. |
| Малые скорости по сравнению с c | u′v/c² ≪ 1: u ≈ u′ + v | Получается приближение классической механики. |
Сначала выберите строку, соответствующую ситуации, и договоритесь о положительном направлении оси. Затем подставьте в общую формулу величины со знаками, а не только их модули. Проверка результата: для исходных скоростей меньше c он не должен превышать c.
Корабль движется относительно Земли со скоростью 0,6c, а аппарат внутри корабля — в том же направлении со скоростью 0,8c относительно корабля. Найдём скорость аппарата относительно Земли и сравним её с классическим результатом. Обозначим скорость аппарата относительно Земли через u, а скорость корабля через v.
Запишем данные в выбранном направлении: u′ = 0,8c и v = 0,6c. Поскольку направления совпадают, обе скорости положительны. Используем релятивистскую формулу, а не простую сумму.
Подставим величины: u = (0,8c + 0,6c)/(1 + 0,8 · 0,6) = 1,4c/1,48. Сокращая c, получаем u ≈ 0,946c. Ответ меньше c, как и должно быть.
Классическое сложение дало бы 1,4c, то есть скорость выше предельной. Такое расхождение показывает, почему при данных скоростях нельзя пренебрегать знаменателем. Ответ: скорость аппарата относительно Земли приблизительно равна 0,946c.
Два корабля движутся навстречу друг другу, каждый со скоростью 0,8c относительно Земли. Требуется найти скорость одного корабля в системе другого. Положительное направление выберем по движению первого корабля относительно Земли, поэтому второй корабль имеет скорость −0,8c относительно Земли.
Для перехода в систему первого корабля удобно считать её скорость относительно Земли v = 0,8c. Скорость второго корабля относительно Земли равна −0,8c. Скорость второго в системе первого найдём формулой перехода u′ = (u − v)/(1 − uv/c²).
Подставим земные скорости: u′ = (−0,8c − 0,8c)/(1 − (−0,8c)(0,8c)/c²) = −1,6c/1,64 ≈ −0,976c. Отрицательный знак указывает, что корабль движется в противоположную сторону относительно выбранной оси.
Для ответа о скорости как о модуле берём абсолютное значение: около 0,976c. Оно меньше c, хотя классическая разность скоростей по модулю дала бы 1,6c. Ответ: скорость одного корабля относительно другого приблизительно равна 0,976c.
Пусть корабль движется вдоль оси x со скоростью v = 0,6c. В его системе частица имеет компоненты u′ₓ = 0,3c и u′ᵧ = 0,4c. Для неколлинеарного движения нельзя применить одну формулу к модулю скорости: сначала преобразуем каждую компоненту.
Продольная компонента равна uₓ = (u′ₓ + v)/(1 + u′ₓv/c²). Подставляем значения: uₓ = 0,9c/1,18 ≈ 0,763c. Эта компонента складывается по релятивистскому правилу вдоль движения корабля.
Поперечную компоненту преобразуем по формуле uᵧ = u′ᵧ√(1 − v²/c²)/(1 + u′ₓv/c²). Получаем uᵧ = 0,4c · 0,8/1,18 ≈ 0,271c. Множитель связан с преобразованием времени, поэтому поперечная скорость тоже меняется.
Находим модуль: u = √(uₓ² + uᵧ²) ≈ √(0,763² + 0,271²)c ≈ 0,810c. Полученное значение меньше c, а направление движения относительно Земли задают обе компоненты. Ответ: компоненты примерно 0,763c и 0,271c, модуль скорости — около 0,810c.
Первая ошибка — использовать u = u′ + v при скоростях, сравнимых с c. Так поступают по привычке, перенося правило из классической механики, но оно способно дать результат выше скорости света. Проверяйте, мало ли u′v/c²; если нет, используйте релятивистскую формулу.
Вторая ошибка — забывать знак скорости при встречном движении. Обычно это происходит, когда подставляют только модули и считают, что направление не влияет на вычисление. Нарисуйте ось, назначьте положительное направление и проверьте знак каждой скорости до подстановки.
Третья ошибка — думать, будто релятивистский закон нужен только для света. Он применим к любым скоростям, но при малых скоростях практически совпадает с классическим правилом. Проверка проста: если скорости намного меньше c, результат должен быть близок к u′ + v.
Четвёртая ошибка — получить скорость больше c из-за неверной подстановки или смешения величин из разных систем. Например, нельзя подставлять скорость корабля относительно Земли и скорость аппарата относительно Земли как u′ и v: первая из них должна быть измерена относительно корабля. Подпишите у каждой скорости систему отсчёта и проверьте, что результат меньше c.
Для изучения закона нужны понятия инерциальной системы, относительности движения и классического сложения скоростей. Его вывод связан с постулатами специальной теории относительности и преобразованиями Лоренца: последние описывают, как меняются координаты и время при переходе между системами. Релятивистский закон применяется вместе с релятивистским импульсом при анализе частиц в ускорителях и космических полётов, где скорости могут быть близки к c.
Почему нельзя просто сложить две скорости, как в классической механике?
Классическое правило u = u′ + v основано на представлении, что скорости складываются независимо от того, как движутся часы и измеряются расстояния. При скоростях, сравнимых с c, это приводит к противоречию: результат может оказаться больше скорости света. Релятивистская формула учитывает преобразования пространства и времени.
Почему в релятивистской формуле скорость света не увеличивается при сложении?
Если скорость тела в одной системе равна c, подстановка u′ = c в формулу даёт u = c при любом v < c. Это следует из того, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчёта. Дополнительный член в знаменателе как раз обеспечивает этот результат.
Как правильно учесть встречное направление движения?
Сначала выберите положительное направление оси, а затем задайте скорости с учётом знаков. Если тело движется против направления скорости системы, его скорость в исходной системе имеет отрицательный знак. После этого используйте общую формулу без изменения её вида.
Когда можно пользоваться обычным классическим сложением скоростей?
Когда все скорости намного меньше c, произведение u′v/c² очень мало, и знаменатель релятивистской формулы почти равен единице. Тогда она приближённо превращается в u = u′ + v. В школьных задачах по механике это обычно справедливо для повседневных скоростей.
Что делать, если скорости направлены не вдоль одной прямой?
Нельзя складывать векторы по одной формуле для коллинеарных скоростей. Компоненту вдоль движения системы преобразуют с релятивистским знаменателем, а поперечную компоненту — с дополнительным множителем, связанным с преобразованием времени. Затем из полученных компонент находят модуль скорости.
§ 3.8. Релятивистский закон сложения скоростей
