"Физика", Б.Кронгарт, Ш.Насохова, С.Туякбаев, В.Кем, В.Загайнова
Релятивистская динамика описывает движение тел со скоростями, близкими к скорости света. В ней учитывают, что импульс и энергия зависят от скорости сильнее, чем предсказывает классическая механика. Главный множитель — лоренц-фактор γ: он связывает массу покоя с релятивистской массой и входит в формулу импульса. При малых скоростях релятивистские формулы дают привычные классические результаты, а массивное тело не может разогнаться до скорости света.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Собственная масса m₀ — масса тела в системе отсчёта, где оно покоится. Её также называют массой покоя. Это характеристика самого тела, поэтому она нужна, чтобы отделить его неизменную массу от величин, зависящих от движения относительно наблюдателя.
Релятивистская масса m — величина, зависящая от скорости тела относительно наблюдателя. В используемом подходе она равна m = γm₀. Такое обозначение удобно для записи релятивистских формул импульса и энергии, хотя собственная масса при этом не меняется.
Лоренц-фактор γ — множитель, учитывающий релятивистское изменение физических величин: γ = 1/√(1 − v²/c²), где v — скорость тела, а c — скорость света в вакууме. При малой скорости γ близок к единице, а при приближении v к c быстро увеличивается. Поэтому этот множитель показывает, насколько заметны релятивистские эффекты.
Релятивистский импульс p — импульс тела, определяемый формулой p = γm₀v. В отличие от классического выражения m₀v, в нём есть множитель γ. Он позволяет правильно описывать движение быстрых частиц и сохраняет закон сохранения импульса в специальной теории относительности.
В классической механике массу считают постоянной, потому что при обычных скоростях изменения, связанные с теорией относительности, чрезвычайно малы. Эта механика успешно описывает транспорт, падение тел и большинство лабораторных движений. Но при скоростях, сравнимых с c, преобразования Галилея уже не согласуются с постоянством скорости света. Тогда нужны преобразования Лоренца, связывающие измерения в разных инерциальных системах.
Преобразования Лоренца следуют из двух постулатов специальной теории относительности: законы физики одинаковы во всех инерциальных системах, а скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей. В этих преобразованиях появляется γ = 1/√(1 − v²/c²). Причина его появления — различие между пространственными и временными измерениями в системах, движущихся друг относительно друга. Поэтому при переходе от одной системы отсчёта к другой релятивистские величины получают этот множитель.
Если выразить релятивистскую массу через массу покоя, получается m = m₀/√(1 − v²/c²) = γm₀. При v, близкой к c, знаменатель стремится к нулю, а масса в этом описании неограниченно возрастает. Это означает, что для дальнейшего увеличения скорости требуется всё больше энергии; достичь c телу с ненулевой m₀ невозможно. На графике видно: при v = 0 отношение m/m₀ равно единице, а возле v/c = 1 кривая резко поднимается.
Скорость влияет не только на массу, но и на импульс и кинетическую энергию. Релятивистский импульс равен p = γm₀v, а кинетическая энергия — Eₖ = (γ − 1)m₀c²; полная энергия тела E = γm₀c². При росте скорости γ увеличивается, поэтому импульс и энергия растут быстрее, чем предсказывают формулы классической механики. Именно так описывают разгон частиц в ускорителях.
При v << c отношение v²/c² мало, поэтому γ ≈ 1 + v²/(2c²) и в первом приближении γ ≈ 1. Тогда релятивистский импульс становится p ≈ m₀v, а кинетическая энергия — Eₖ ≈ m₀v²/2. Значит, классическая механика не противоречит релятивистской: она является её приближением для малых скоростей. Релятивистские поправки становятся существенными, когда скорость уже нельзя считать намного меньшей c.
Сравнивайте формулы по строкам: так видно, какой множитель или энергетический вклад появляется при больших скоростях. В последнем столбце указано, к чему сводится релятивистское выражение при v << c. Для описания поведения около c учитывайте, что речь идёт о теле с ненулевой собственной массой.
| Величина | Классическая механика | Релятивистская механика | Предел при v << c |
|---|---|---|---|
| Масса | m₀, постоянна | m = γm₀ | m ≈ m₀ |
| Импульс | p = m₀v | p = γm₀v | p ≈ m₀v |
| Кинетическая энергия | Eₖ = m₀v²/2 | Eₖ = (γ − 1)m₀c² | Eₖ ≈ m₀v²/2 |
| Полная энергия | Отдельно не учитывается | E = γm₀c² | E ≈ m₀c² + m₀v²/2 |
| Связь энергии и импульса | Eₖ = p²/(2m₀) | E² = (pc)² + (m₀c²)² | Eₖ ≈ p²/(2m₀) |
| Поведение при v → c | Формулы не описывают предел скорости света | γ, p и Eₖ неограниченно возрастают | Этот предел не относится к v << c |
Нужно найти, во сколько раз масса движения превышает массу покоя. Для этого сначала вычислим γ по отношению v/c, а затем умножим собственную массу на найденный фактор. Значение m₀ оставим символическим: численное значение массы электрона для решения не требуется.
Ответ: релятивистская масса электрона равна (5/3)m₀, или примерно 1,67m₀. Проверка здравого смысла: масса больше собственной, поскольку скорость заметна по сравнению с c, но тело всё ещё движется медленнее света.
Отношение m/m₀ равно лоренц-фактору, поэтому условие сразу задаёт γ = 2. Чтобы найти скорость, выразим v/c из формулы для γ. Выбираем положительный корень, так как требуется модуль скорости, а не её направление.
Ответ: v = (√3/2)c ≈ 0,866c. Результат меньше единицы, как и должно быть для тела с массой покоя. Чем больше отношение m/m₀, тем ближе скорость к c.
Удобно сравнить импульсы отношением, поэтому численное значение массы протона не понадобится. Классический импульс равен m₀v, релятивистский — γm₀v; при одинаковых m₀ и v их отношение равно γ. Сначала вычисляем этот фактор, затем оцениваем, насколько классический расчёт отличается от релятивистского.
Ответ: релятивистский импульс примерно в 7,09 раза больше классического. Классическая формула здесь заметно занижает результат, потому что скорость протона близка к c. Массу протона можно подставить для получения импульсов в единицах измерения, но на их отношение она не влияет.
Подставляют скорость, равную c или превышающую её, хотя тело с ненулевой собственной массой не может достичь скорости света. Ошибка возникает из-за механического переноса привычных формул на недопустимые скорости. Проверьте отношение v/c до вычисления: оно должно быть меньше единицы, иначе выражение под корнем в γ не описывает движение такого тела.
Путают собственную массу с релятивистской и считают, что масса покоя меняется при смене системы отсчёта. Причина — одинаковое слово «масса» для двух разных величин в используемом подходе. Перед расчётом уточните, какая масса дана: m₀ или m; проверить результат можно по формуле m = γm₀ и условию γ ≥ 1.
При скорости, сравнимой с c, используют классическое выражение p = m₀v. Оно получается только как приближение при малых скоростях, когда γ почти равен единице. Чтобы проверить выбор формулы, сначала оцените v/c: если это отношение заметно, вычислите γ и используйте p = γm₀v.
Рост релятивистской массы объясняют появлением или добавлением вещества в тело. Такую трактовку допускают, смешивая изменение измеряемых величин с изменением состава тела. Проверка проста: собственная масса m₀ остаётся постоянной, а множитель γ отражает зависимость описания от скорости наблюдателя, а не приток вещества.
Для этой темы нужны понятия массы, скорости, импульса и кинетической энергии, а также основы специальной теории относительности. Она продолжает изучение постулатов Эйнштейна, преобразований Лоренца и релятивистской кинематики: именно оттуда следует лоренц-фактор. Полученные формулы применяют в ядерной и частичной физике, при расчётах ускорителей частиц и при изучении связи массы с энергией.
Почему масса тела увеличивается при движении с большой скоростью?
В принятом здесь подходе релятивистская масса определяется как m = γm₀, где γ возрастает вместе со скоростью. Это не означает, что в тело добавляется вещество: так описывают изменение его импульса и энергии относительно наблюдателя.
Что именно называют собственной массой?
Собственная масса m₀ — масса тела в системе отсчёта, относительно которой оно покоится. Она не зависит от скорости тела относительно других наблюдателей.
Можно ли разогнать тело с массой покоя до скорости света?
Нет. При приближении скорости к c лоренц-фактор неограниченно растёт, поэтому для дальнейшего разгона потребовалась бы неограниченная энергия.
Когда нужно использовать релятивистскую, а не классическую формулу импульса?
Используйте p = γm₀v, если скорость тела сравнима со скоростью света. При v, намного меньшей c, γ почти равен единице, и достаточно классической формулы p = m₀v.
Чем релятивистская масса отличается от массы покоя?
Масса покоя m₀ — неизменная характеристика тела, измеряемая в системе, где тело покоится. Релятивистская масса m = γm₀ зависит от скорости тела относительно выбранного наблюдателя.
§ 5.8. Релятивистская динамика. Зависимость массы от скорости
