"Физика. Оптика. Квантовая физика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Соотношение неопределённостей Гейзенберга показывает фундаментальное ограничение квантовой физики: координату частицы и соответствующую компоненту её импульса нельзя одновременно знать сколь угодно точно. Чем сильнее локализована микрочастица, тем шире разброс её импульсов. Аналогично, короткое время существования состояния связано с большей неопределённостью энергии. Закон нужен для описания атомов, спектров и поведения микрочастиц.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Неопределённость координаты Δx — мера разброса возможных результатов измерения координаты микрочастицы в одинаково подготовленных состояниях. Это не просто погрешность линейки или другого прибора. Величина нужна, чтобы описывать, насколько широко в пространстве может быть распределена частица.
Неопределённость импульса Δp — мера разброса значений импульса частицы при повторении измерений для одинаковых квантовых состояний. Она показывает, насколько различными могут оказаться импульсы. В формулах обычно рассматривают компоненту импульса, например Δpₓ.
Соотношение неопределённостей — фундаментальная закономерность, связывающая точность одновременного определения координаты и импульса. Она устанавливает нижнюю границу для произведения соответствующих неопределённостей. Поэтому уменьшение одной из них ограничено ростом другой.
Постоянная Дирака ℏ равна постоянной Планка, делённой на 2π: ℏ = h/(2π). Это квантовая постоянная, задающая масштаб ограничений микромира. Именно она входит в формулы для координаты, импульса, энергии и времени.
Микрочастица обладает не только свойствами частицы, но и волновыми свойствами. Поэтому её состояние удобно описывать волновым пакетом — совокупностью волн, сосредоточенных в некоторой области пространства. Чем точнее нужно указать положение частицы, тем уже должен быть этот пакет.
Узкий волновой пакет нельзя составить одной волной с определённой длиной волны. Для его формирования складывают волны с разными волновыми числами, а значит, с разными импульсами, поскольку p = h/λ. Поэтому уменьшение ширины пакета сопровождается увеличением разброса импульсов.
Из волновой природы частиц следует обратная зависимость между неопределённостями координаты и импульса. Математически она записывается так: Δx · Δpₓ ≥ ℏ/2. Знак неравенства означает, что произведение не может быть меньше указанной границы, но в конкретном состоянии может быть больше неё.
Представим частицу, пролетающую через узкую щель. Координата частицы в поперечном направлении ограничивается шириной щели, то есть Δx становится малой. После щели волна сильнее расходится по направлениям, поэтому возрастает разброс поперечной компоненты импульса Δpₓ.
Для энергии и времени используется оценка ΔE · Δt ≥ ℏ/2. Если нестационарное возбуждённое состояние существует недолго, его энергия не имеет абсолютно точного значения и распределена в некотором диапазоне. Чем меньше время жизни состояния, тем больше этот диапазон, а при излучении — тем шире спектральная линия.
В таблице первая неопределённость указана в первом столбце, а связанная с ней величина — во втором. При уменьшении произведения нельзя перейти ниже границы ℏ/2, поэтому в третьем столбце указано, какой разброс должен возрасти. Формулы применяют к компонентам величин вдоль соответствующих направлений.
| Связанные величины | Математическое соотношение | Что происходит при уменьшении первой неопределённости | Физический смысл |
|---|---|---|---|
| Координата и соответствующая компонента импульса | Δx · Δpₓ ≥ ℏ/2 | Увеличивается минимально возможная неопределённость импульса | Нельзя одновременно получить сколь угодно точные значения координаты и импульса |
| Координата y и импульс pᵧ | Δy · Δpᵧ ≥ ℏ/2 | Увеличивается неопределённость импульса в направлении y | Соотношение действует отдельно для каждой пары координата — соответствующая компонента импульса |
| Энергия и время | ΔE · Δt ≥ ℏ/2 | Для короткоживущего состояния возрастает неопределённость его энергии | Чем меньше время существования состояния, тем шире диапазон возможных энергий |
Электрон проходит через щель шириной 1,0·10⁻¹⁰ м. Нужно оценить минимальную неопределённость поперечной составляющей импульса. Ширину щели примем за Δx, поскольку она ограничивает положение электрона поперёк движения.
Ответ: минимальная неопределённость поперечного импульса примерно равна 5,3·10⁻²⁵ кг·м/с.
Электрон локализован в области размером 1,0·10⁻¹⁰ м. Требуется найти минимальную неопределённость его скорости. Сначала найдём неопределённость импульса, а затем воспользуемся нерелятивистской связью Δp = mₑΔv.
Ответ: минимальная неопределённость скорости составляет примерно 5,8·10⁵ м/с. Полученная величина велика, поэтому для электрона в атомных масштабах классическая траектория оказывается непригодным описанием.
Возбуждённое состояние атома существует примерно 1,0·10⁻⁸ с. Нужно оценить естественную ширину неопределённости его энергии. Малое время жизни подставляем в соотношение для энергии и времени.
Ответ: неопределённость энергии не меньше примерно 5,3·10⁻²⁷ Дж, или 3,3·10⁻⁸ эВ. Она создаёт естественное уширение спектральной линии.
Первая ошибка — считать Δx и Δp обычными погрешностями одного прибора. Так думают, потому что слово «неопределённость» похоже на техническую ошибку; проверить себя можно вопросом: описывается ли разброс результатов в одинаковых состояниях?
Вторая ошибка — писать Δx · Δp = 0 или утверждать, что точная координата даёт точный импульс. Знак неравенства показывает нижнюю границу произведения; при уменьшении одной неопределённости другая не исчезает, а возрастает.
Третья ошибка — подставлять вместо Δpₓ неопределённость модуля полного импульса. Соотношение связывает координату с компонентой импульса в том же направлении, поэтому нужно проверить индексы x, y или z.
Четвёртая ошибка — понимать формулу как запрет любых измерений. Она не говорит о бессилии техники, а описывает свойство квантового состояния; измерения возможны, если принять конечную точность.
Для понимания темы нужны волновые свойства микрочастиц, длина волны де Бройля, импульс, энергия и постоянная Планка. Соотношение объясняет устойчивость атомов и показывает, почему электрон нельзя представить частицей, движущейся по классической траектории. Оно используется при изучении строения атома, квантовых состояний, спектральных линий и их естественной ширины.
Почему соотношение неопределённостей нельзя устранить более точным прибором?
Оно связано не с недостатками прибора, а с волновыми свойствами микрочастицы и самим квантовым состоянием. Даже идеальный прибор обнаружил бы тот же фундаментальный разброс результатов.
Означает ли большое значение Δx, что частица обязательно находится далеко от точки наблюдения?
Нет. Большая Δx означает, что координата имеет широкий разброс возможных значений. Частица может находиться рядом с выбранной точкой, но заранее нельзя указать её положение с высокой точностью.
Почему в формуле используется компонент импульса, а не всегда его полная величина?
Каждой координате соответствует импульс вдоль того же направления: x — pₓ, y — pᵧ, z — p𝓏. Поэтому для неопределённости координаты x используется именно поперечная или продольная компонента pₓ, а не модуль полного импульса.
Можно ли одновременно измерить координату и импульс, если согласиться на большие погрешности?
Да, измерения возможны, если не требовать произвольно высокой точности. Соотношение устанавливает нижнюю границу произведения неопределённостей, а не запрещает совместное получение приблизительных значений.
Почему короткое время жизни возбуждённого состояния связано с шириной спектральной линии?
Короткоживущее состояние имеет большую неопределённость энергии: ΔE ≥ ℏ/(2Δt). При переходе атома эта неопределённость проявляется как ненулевая ширина частот и спектральной линии.
§ 6.10. Соотношение неопределённостей Гейзенберга
