§ 7.23. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Энергия фотона — энергия кванта электромагнитного излучения, то есть минимальной порции света. Она определяется частотой и длиной волны: E = hν = hc/λ. Поэтому при увеличении частоты энергия фотона растёт, а при увеличении длины волны уменьшается; это нужно для выбора формулы по данным условия.

Работа выхода — минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из вещества. Её обозначают Aвых и измеряют в джоулях или электрон-вольтах. В уравнении фотоэффекта она показывает, какая часть энергии фотона тратится на освобождение электрона, а не на его движение.

Задерживающее напряжение — напряжение, при котором электрическое поле останавливает наиболее быстрые фотоэлектроны. Его обозначают Uз; максимальная кинетическая энергия связана с ним соотношением Eк max = eUз. Эта величина позволяет найти энергию электронов даже тогда, когда их скорость непосредственно не задана.

Длина волны де Бройля — характеристика волновых свойств частицы, определяемая её импульсом. Формула имеет вид λдБ = h/p, а при обычных скоростях p = mv. Чем больше импульс частицы, тем короче её длина волны, поэтому соотношение применяют для оценки наблюдаемости волновых эффектов.

Как это устроено

Сначала определяют, какие тела участвуют в процессе и что с ними происходит: фотон поглощается электроном, электрон покидает вещество или движущаяся частица проявляет волновые свойства. Затем все известные величины выписывают с обозначениями и переводят в единицы СИ. Такой порядок устраняет подстановку несовместимых единиц и помогает понять, какой закон описывает ситуацию.

Если дана частота света, энергию фотона находят по формуле E = hν, потому что частота непосредственно характеризует энергию кванта. Если известна длина волны, удобнее использовать E = hc/λ, поскольку скорость света связывает частоту и длину волны. Длину волны обычно переводят из нанометров в метры до подстановки.

В фотоэффекте фотон передаёт электрону всю свою энергию, но она распределяется не произвольно. Сначала затрачивается работа выхода на преодоление связи электрона с веществом, а остаток превращается в его кинетическую энергию: hν = Aвых + Eк max. Поэтому сравнение энергии фотона с работой выхода сразу показывает, возможен ли вылет электронов.

Максимальную кинетическую энергию можно получить непосредственно из уравнения Эйнштейна либо по задерживающему напряжению. Во втором случае поле совершает работу, равную энергии, необходимой для остановки самого быстрого электрона: Eк max = eUз. Совпадение результатов служит проверкой решения и показывает, что энергетическое описание процесса непротиворечиво.

В задачах о волновых свойствах сначала находят импульс частицы, поскольку именно он входит в формулу де Бройля. При известной скорости используют p = mv, а при известной кинетической энергии — Eк = p²/(2m), откуда p = √(2mEк). После этого вычисляют λдБ = h/p и проверяют, что длина волны получена в метрах.

Величины и соотношения, используемые при решении задач

Таблицу удобно использовать как маршрут решения: сначала найдите величину, данную в условии, затем переходите к связанной с ней формуле. Все энергии в одном вычислении должны быть выражены либо в джоулях, либо согласованно в электрон-вольтах. Если формула содержит заряд электрона e, результат в СИ получится в джоулях.

Разбор задач

Энергия фотона по длине волны

Условие. Длина волны света равна 600 нм. Требуется найти энергию одного фотона. Постоянные: h = 6,63·10⁻³⁴ Дж·с, c = 3·10⁸ м/с.

1. Переведём длину волны: λ = 600·10⁻⁹ м = 6·10⁻⁷ м.
2. Так как задана длина волны, используем E = hc/λ.
3. Подставим значения: E = (6,63·10⁻³⁴ · 3·10⁸)/(6·10⁻⁷) ≈ 3,3·10⁻¹⁹ Дж.

Ответ: энергия фотона примерно равна 3,3·10⁻¹⁹ Дж. Перевод нанометров в метры обязателен, иначе результат будет ошибочным в миллиард раз.

Фотоэффект и максимальная энергия электронов

Условие. Работа выхода вещества Aвых = 2,0 эВ, частота света ν = 8·10¹⁴ Гц. Нужно определить, возникает ли фотоэффект, и найти максимальную кинетическую энергию электронов.

1. Находим энергию фотона в электрон-вольтах: E = hν ≈ 3,31 эВ.
2. Сравниваем её с работой выхода: 3,31 эВ больше 2,0 эВ, значит, фотоэффект возможен.
3. По уравнению Эйнштейна Eк max = E − Aвых = 3,31 − 2,0 = 1,31 эВ.

Ответ: фотоэффект возникает, максимальная кинетическая энергия электронов равна примерно 1,31 эВ. При необходимости её переводят в джоули умножением на заряд электрона.

Частота по задерживающему напряжению

Условие. Фотоэлектроны полностью задерживаются напряжением Uз = 1,5 В. Работа выхода вещества равна 2,0 эВ. Нужно найти частоту падающего света.

1. Максимальная кинетическая энергия в электрон-вольтах численно равна напряжению: Eк max = 1,5 эВ.
2. Из уравнения фотоэффекта энергия фотона равна E = Aвых + Eк max = 2,0 + 1,5 = 3,5 эВ.
3. Переводим энергию в джоули и используем ν = E/h: ν ≈ (3,5 · 1,60·10⁻¹⁹)/(6,63·10⁻³⁴) ≈ 8,4·10¹⁴ Гц.

Ответ: частота света примерно равна 8,4·10¹⁴ Гц. Сначала найдено напряжением значение кинетической энергии, затем восстановлена энергия фотона.

Типичные ошибки

Длину волны в нанометрах подставляют в формулу как число 600, не переводя его в метры. Ошибка возникает из-за смешения приставки нано с основной единицей длины. Проверка проста: перед расчётом запишите 1 нм = 10⁻⁹ м.

Иногда считают, что увеличение интенсивности увеличивает энергию каждого фотона. На самом деле интенсивность означает больший поток фотонов, а энергия одного фотона задаётся частотой. Проверьте себя вопросом: изменилась ли частота света?

Работу выхода путают с максимальной кинетической энергией электрона. Первая величина нужна для выхода электрона из вещества, вторая описывает его движение после выхода; в уравнении они складываются. Если из энергии фотона вычитается не та величина, проверьте смысл каждого слагаемого.

В формуле Eк max = eUз допускают ошибки в единицах заряда и напряжения. В СИ нужно использовать e = 1,60·10⁻¹⁹ Кл и Uз в вольтах, а в электрон-вольтах энергия численно равна напряжению. Сверьте размерность и убедитесь, что речь идёт именно о максимальной энергии.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны связь ν = c/λ, перевод приставок единиц и запись результата в СИ. Эти навыки позволяют без ошибок переходить от длины волны к энергии фотона и сравнивать величины в одном масштабе.

Задачи опираются на закон сохранения энергии, импульс, кинетическую энергию и заряд электрона. Те же методы применяются при изучении фотоэффекта, движения заряженных частиц и волновых свойств микрочастиц.

Что запомнить

• Энергия фотона равна hν и обратно пропорциональна длине волны.
• Фотоэффект возможен, если энергия фотона не меньше работы выхода.
• В уравнении фотоэффекта энергия фотона равна сумме работы выхода и максимальной кинетической энергии электрона.
• Задерживающее поле останавливает наиболее быстрые фотоэлектроны.
• При вычислениях необходимо согласовывать единицы всех величин.
• Для длины волны де Бройля сначала находят импульс частицы.